Основания равнобедренной трапеции равны 23 и 17. Тангенс одного из углов равен −3/8 Найдите площадь трапеции.
Основания равнобедренной трапеции равны 23 и 17. Тангенс одного из углов равен −3/8 Найдите площадь трапеции.
Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нам нужно воспользоваться формулой для площади трапеции и дополнительными геометрическими соотношениями. Даны основания ( a = 23 ) и ( b = 17 ), а также тангенс одного из углов при основании равен ( -\frac{3}{8} ).
Понимание углов и высоты: Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны. Обозначим угол при большем основании ( \alpha ). Поскольку тангенс угла ( \alpha = -\frac{3}{8} ), это указывает, что угол тупой, и его дополнительный угол к основанию прямоугольника с высотой будет острым с тангенсом ( \frac{3}{8} ).
Высота трапеции: Для нахождения высоты трапеции ( h ), можно воспользоваться соотношением с тангенсом. Поскольку тангенс острого угла в правом треугольнике, образованном высотой ( h ) и отрезком ( \frac{a-b}{2} ) (разность оснований, делённая на два), равен ( \frac{3}{8} ), мы имеем: [ \tan(\theta) = \frac{h}{\frac{a-b}{2}} = \frac{3}{8} ] Подставим разности оснований: [ \frac{h}{\frac{23-17}{2}} = \frac{3}{8} ] [ \frac{h}{3} = \frac{3}{8} ] [ h = 3 \times \frac{3}{8} = \frac{9}{8} ]
Площадь трапеции: Площадь трапеции ( S ) вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h ] Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} \times (23 + 17) \times \frac{9}{8} ] [ S = \frac{1}{2} \times 40 \times \frac{9}{8} ] [ S = 20 \times \frac{9}{8} ] [ S = \frac{180}{8} = 22.5 ]
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна ( 22.5 ) квадратных единиц.
Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту трапеции, затем используя формулу для площади трапеции, найдем искомое значение.
По условию задачи, трапеция ABCD имеет основания AB = 23 и CD = 17. Пусть точка E - точка пересечения диагоналей трапеции. Так как трапеция равнобедренная, то AE = BD = (23 - 17) / 2 = 3.5.
Также из условия задачи известно, что tg(∠A) = -3/8. Используя соответствующее свойство тангенса, можем записать:
tg(∠A) = DE / AE = -3/8
Отсюда находим DE = -3 / 8 * 3.5 = -1.3125.
Теперь можем найти высоту трапеции h:
h = AE^2 - DE^2 = 3.5^2 - (-1.3125)^2 = 12.25 - 1.72 = 10.53.
Наконец, используя формулу для площади трапеции:
S = (AB + CD) h / 2 = (23 + 17) 10.53 / 2 = 40 * 10.53 / 2 = 421.2.
Ответ: Площадь равнобедренной трапеции равна 421.2.
