Основания равнобокой трапеции равны 2 и 10 , а острый угол при основании 30 . Найдите площадь трапеции...

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту трапеции, которая является биссектрисой острого угла при основании.

Так как у нас равнобокая трапеция, то биссектриса острого угла при основании равна высоте трапеции. Для нахождения высоты воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике, где один из углов равен 30 градусам.

Пусть h - высота трапеции. Тогда по теореме косинусов:

h^2 = 2^2 + 10^2 - 2 2 10 * cos(30°)

h^2 = 4 + 100 - 40 * cos(30°)

h^2 = 104 - 40 * sqrt(3) / 2

h^2 = 104 - 20 * sqrt(3)

h = sqrt(104 - 20 * sqrt(3))

Теперь, когда мы нашли высоту трапеции, можем найти ее площадь, используя формулу:

S = (a + b) * h / 2

где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Подставляем известные значения:

S = (2 + 10) sqrt(104 - 20 sqrt(3)) / 2

S = 12 sqrt(104 - 20 sqrt(3)) / 2

S = 6 sqrt(104 - 20 sqrt(3))

Таким образом, площадь равнобокой трапеции со сторонами оснований 2 и 10 и острым углом при основании 30 градусов равна 6 sqrt(104 - 20 sqrt(3)) квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам сначала необходимо найти высоту трапеции и длину боковых сторон, после чего мы сможем вычислить площадь трапеции.

1. Обозначим основание ( AB = 10 ) и ( CD = 2 ). Острый угол при основании ( \angle BAD = 30^\circ ).

2. Пусть ( AD = BC = x ) (равные боковые стороны) и ( h ) — высота трапеции, опущенная из точки ( D ) на основание ( AB ).

3. Трапеция симметрична, поэтому высота ( h ) делит трапецию на две прямоугольные треугольники ( \triangle AHD ) и ( \triangle BHC ) и прямоугольник ( DEFC ), где ( E ) и ( F ) — точки пересечения высот с основанием ( AB ).

4. В прямоугольном треугольнике ( \triangle AHD ):

   • ( AD = x )
   • ( \angle HAD = 30^\circ )
   • ( AH = DE = x \cos 30^\circ = \frac{x \sqrt{3}}{2} )
   • ( HD = h = x \sin 30^\circ = \frac{x}{2} )

5. Поскольку трапеция симметрична, ( AB = 10 ), ( DE = 2 ), то ( AE = BF = \frac{10 - 2}{2} = 4 ).

6. Из треугольника ( \triangle AHD ) (по горизонтали):

   • ( AH = 4 )
   • ( x \cos 30^\circ = 4 )
   • ( \frac{x \sqrt{3}}{2} = 4 )
   • ( x \sqrt{3} = 8 )
   • ( x = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} )

7. Найдем высоту ( h ):

   • ( h = \frac{x}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} )

8. Площадь трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} (a + b) h ] где ( a = 10 ), ( b = 2 ), ( h = \frac{4 \sqrt{3}}{3} ).

   Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} (10 + 2) \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} = 8 \sqrt{3} ]

Итак, площадь данной трапеции равна ( 8 \sqrt{3} ) квадратных единиц.