Основания трапеции относятся как 2 : 3. Прямая, параллельная основаниям трапеции, делит ее боковую сторону...

Ответ: 3 : 2.

Для решения задачи начнем с обозначений:

1. Пусть основания трапеции ( AB ) и ( CD ) относятся как ( 2:3 ). Обозначим их длины как ( AB = 2x ) и ( CD = 3x ).

2. Пусть высота трапеции равна ( h ).

3. Прямая, параллельная основаниям, делит боковую сторону ( AD ) (или ( BC )) в отношении ( 3:2 ) от вершины меньшего основания. Обозначим точку деления на ( AD ) через ( E ).

Из условия следует, что отрезок ( AE ) относится к ( ED ) как ( 3:2 ). Это значит, что ( AE = \frac{3}{5}h ) и ( ED = \frac{2}{5}h ).

Теперь рассмотрим трапецию, разделенную данной прямой на две части: верхнюю (меньшую) трапецию ( ABEF ) и нижнюю (большую) трапецию ( EFCD ).

Для нахождения отношения площадей этих трапеций необходимо определить длину отрезка ( EF ), который является основанием меньшей трапеции ( ABEF ).

По теореме о средней линии трапеции, если прямая параллельна основаниям, то она делит боковые стороны в том же отношении и является средней линией для верхней трапеции. Длина средней линии ( EF ) выражается как среднее арифметическое оснований трапеции:

[ EF = \frac{AB + CD}{2} = \frac{2x + 3x}{2} = \frac{5x}{2} ]

Теперь найдем площади трапеций ( ABEF ) и ( EFCD ).

Площадь трапеции ( ABEF ) можно найти по формуле площади трапеции:

[ S_{ABEF} = \frac{(AB + EF)}{2} \cdot AE = \frac{(2x + \frac{5x}{2})}{2} \cdot \frac{3}{5}h = \frac{\frac{9x}{2}}{2} \cdot \frac{3}{5}h = \frac{27xh}{20} ]

Площадь трапеции ( EFCD ):

[ S_{EFCD} = \frac{(EF + CD)}{2} \cdot ED = \frac{(\frac{5x}{2} + 3x)}{2} \cdot \frac{2}{5}h = \frac{\frac{11x}{2}}{2} \cdot \frac{2}{5}h = \frac{11xh}{10} ]

Теперь найдем отношение площадей ( S{ABEF} ) к ( S{EFCD} ):

[ \frac{S{ABEF}}{S{EFCD}} = \frac{\frac{27xh}{20}}{\frac{11xh}{10}} = \frac{27}{22} = \frac{27:22} ]

Таким образом, прямая делит площадь трапеции в отношении ( 27:22 ).

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойством параллелограммов, которое гласит, что прямые, параллельные сторонам параллелограмма, делят его стороны пропорционально.

Пусть длина меньшего основания трапеции равна 2x, а длина большего основания равна 3x. Тогда длина боковой стороны, которую делит параллельная основаниям прямая, будет равна 3y (от вершины меньшего основания) и 2y (от вершины большего основания).

Площадь трапеции можно выразить как S = (a + b) * h / 2, где а и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Таким образом, площади трапеции, образованной прямой параллельной основаниям, будут соответствовать прямоугольникам с соответствующими сторонами: 2x 3y и 3x 2y.

Площадь первого прямоугольника равна 6xy, площадь второго прямоугольника равна 6xy. Оба прямоугольника имеют одинаковую площадь, следовательно, исходная площадь трапеции делится этой прямой в отношении 1 : 1.