Основания ВС и АD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD...

Чтобы доказать подобие треугольников ( \triangle CBD ) и ( \triangle BDA ), нужно показать, что их углы попарно равны или их стороны пропорциональны.

В трапеции ( ABCD ) основания ( BC ) и ( AD ) параллельны. Это значит, что углы при основаниях, которые опираются на одну и ту же хорду (в данном случае диагональ ( BD )), равны. Следовательно, угол ( \angle CBD ) равен углу ( \angle BDA ) по признаку параллельности прямых.

Теперь проверим пропорциональность сторон. Пусть ( E ) — точка пересечения диагоналей ( AC ) и ( BD ). Тогда в трапеции выполняется теорема о пропорциональности отрезков, которая утверждает, что если ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( E ), то:

[ \frac{BE}{ED} = \frac{BC}{AD} ]

Подставим значения оснований:

[ \frac{BE}{ED} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} ]

Поскольку треугольники ( \triangle CBD ) и ( \triangle BDA ) имеют общий угол ( \angle BDA = \angle CBD ) и отношение их сторон равно, то по первому признаку подобия треугольников (угол и пропорциональные стороны) ( \triangle CBD \sim \triangle BDA ).

Таким образом, треугольники ( \triangle CBD ) и ( \triangle BDA ) действительно подобны.

Для доказательства подобия треугольников CBD и BDA нам необходимо показать, что их углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.

1. Углы: Угол BDC и угол BDA - оба прямые, так как они соответствуют дополняющим углам к параллельным прямым AB и CD. Таким образом, угол BDC и угол BDA равны. Углы BCD и BAD - вертикальные углы, таким образом, они также равны.

2. Стороны: Из условия задачи известно, что BD = 10, BC = 5 и AD = 20. Таким образом, отношение сторон в треугольниках CBD и BDA равно: BC/BD = 5/10 = 1/2 AD/BD = 20/10 = 2

Таким образом, мы видим, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны.

Таким образом, треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу.