Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 14 см, АВ=8 см, угол D= 45 градусов...

Длина вектора АС равна 10 см.

Для решения задачи найдем длину вектора ( \overrightarrow{AC} ) в прямоугольной трапеции ( ABCD ), где ( AD ) — основание, ( AB ) — высота, и угол ( D ) равен ( 45^\circ ).

1. Понять структуру трапеции:

   • ( AD = 14 ) см и ( AB = 8 ) см.
   • Угол ( D = 45^\circ ) означает, что ( \angle ADC = 45^\circ ).

2. Используем свойства прямоугольного треугольника ( \triangle ADC ):

   • Поскольку угол ( D = 45^\circ ), треугольник ( \triangle ADC ) является равнобедренным прямоугольным треугольником, где ( DC = AD ).

3. Найти длину ( DC ):

   • В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, следовательно, ( DC = AD = 14 ) см.

4. Найти длину вектора ( \overrightarrow{AC} ):

   • ( AC ) — это гипотенуза прямоугольного треугольника ( \triangle ABC ).
   • Применяем теорему Пифагора: [ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} ]
   • Поскольку ( BC = DC = 14 ) см, то: [ AC = \sqrt{8^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260} ]

5. Упростить ( \sqrt{260} ):

   • Разложим 260 на простые множители: ( 260 = 2^2 \times 5 \times 13 ).
   • Следовательно: [ \sqrt{260} = \sqrt{2^2 \times 5 \times 13} = 2\sqrt{65} ]

Таким образом, длина вектора ( \overrightarrow{AC} ) равна ( 2\sqrt{65} ) см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами прямоугольных треугольников.

Сначала найдем длину отрезка CD, который является высотой прямоугольной трапеции ABCD. Так как угол D равен 45 градусов, то треугольник ACD является прямоугольным. По теореме Пифагора: AC^2 = AD^2 - CD^2 AC^2 = 14^2 - CD^2 AC^2 = 196 - CD^2

Также из того же прямоугольного треугольника ACD мы можем найти CD, так как CD = AC sin(D): CD = AC sin(45) CD = AC * √2 / 2

Подставляем это значение CD в уравнение выше: AC^2 = 196 - (AC √2 / 2)^2 AC^2 = 196 - (AC^2 2 / 4) AC^2 = 196 - AC^2 / 2 2AC^2 = 392 - AC^2 3AC^2 = 392 AC^2 = 392 / 3 AC ≈ 10,44

Теперь, чтобы найти длину вектора АС, нужно найти длину отрезка BC, который равен 8 см (по условию). Тогда вектор АС будет равен сумме векторов AB и BC: AC = AB + BC AC = 8 + 10,44 AC ≈ 18,44 см

Итак, длина вектора АС составляет примерно 18,44 см.