Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ равна 16 корней из 2 и образует с боковым ребром угол 45 градусов. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда?
Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ равна 16 корней из 2 и образует с боковым ребром угол 45 градусов. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда?
Для решения задачи начнем с анализа данных и построения плана решения.
Определение размеров ромба: Основание параллелепипеда — ромб. Зная меньшую диагональ ромба (12 см), можно найти его сторону. Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Если меньшая диагональ равна 12 см, тогда половина этой диагонали равна 6 см. Полагая, что другая диагональ делится точно так же, обозначим половину большей диагонали как x. Тогда по теореме Пифагора сторона ромба a будет: [ a = \sqrt{6^2 + x^2} ]
Нахождение большей диагонали ромба: По условию, большая диагональ параллелепипеда равна (16\sqrt{2}) см и образует угол 45 градусов с боковым ребром. Это значит, что большая диагональ параллелепипеда, проходящая из одного угла в противоположный через центр ромба, делится на две равные части в центре ромба. Так как угол между большой диагональю и боковым ребром составляет 45 градусов, то боковое ребро можно выразить как: [ h = \frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 8 \text{ см} ]
Полная площадь поверхности параллелепипеда: Полная площадь поверхности прямого параллелепипеда складывается из площадей всех его граней: двух оснований (ромбов) и четырех прямоугольников (боковых граней). Площадь ромба можно найти через произведение его диагоналей, деленное на два: [ S{осн} = \frac{12 \cdot 2x}{2} = 12x ] Площадь боковой грани равна произведению стороны ромба на высоту параллелепипеда: [ S{бок} = a \cdot 8 ] Подставляя значение стороны: [ S{бок} = \sqrt{36 + x^2} \cdot 8 ] Полная площадь поверхности: [ S{полн} = 2 \cdot S{осн} + 4 \cdot S{бок} = 24x + 4 \cdot 8 \cdot \sqrt{36 + x^2} ] Используя значение (x = 6\sqrt{3}) для большей диагонали ромба (полученное из (2x = 12\sqrt{3}), так как (12\sqrt{3}) — большая диагональ ромба, а x это её половина), получим: [ S_{полн} = 24 \cdot 6\sqrt{3} + 4 \cdot 8 \cdot \sqrt{36 + (6\sqrt{3})^2} = 144\sqrt{3} + 32 \cdot 12 = 144\sqrt{3} + 384 ] Это и будет искомой площадью полной поверхности параллелепипеда.
Для того чтобы найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, нужно сложить площади всех его шести граней.
Площадь каждой грани параллелепипеда можно найти следующим образом:
Боковые грани: каждая из них является прямоугольником, площадь которого равна произведению длины меньшей диагонали ромба (12 см) на высоту параллелепипеда. Учитывая, что угол между большей диагональю ромба и боковым ребром параллелепипеда равен 45 градусов, можно найти высоту параллелепипеда как половину длины большей диагонали ромба, т.е. 8 корней из 2 см. Площадь одной боковой грани: 12 см * 8 корней из 2 см = 96 корней из 2 кв. см.
Верхняя и нижняя грани: каждая из них является ромбом с диагоналями, равными диагоналям основания параллелепипеда. Площадь ромба можно найти как половину произведения длины большей и меньшей диагоналей. Площадь одной верхней или нижней грани: 0.5 12 см 16 корней из 2 см = 96 корней из 2 кв. см.
Итак, общая площадь полной поверхности параллелепипеда равна: 2 (96 корней из 2 кв. см) + 2 (96 корней из 2 кв. см) + 2 (12 см 8 корней из 2 см) = 384 корня из 2 кв. см.
Таким образом, площадь полной поверхности данного прямоугольного параллелепипеда равна 384 корня из 2 кв. см.
