Основание трапеции относятся как 5:9. Как относятся площади трапеций, на которые данную трапецию делит...

Для решения этой задачи рассмотрим трапецию (ABCD), в которой (AB) и (CD) — это основания, причем (AB < CD). Дано, что основания относятся как 5:9, то есть (\frac{AB}{CD} = \frac{5}{9}).

Средняя линия трапеции, обозначим ее как (MN), параллельна основаниям и равна полусумме оснований:

[ MN = \frac{AB + CD}{2} ]

Когда средняя линия делит трапецию, она образует две новые трапеции: (AMND) и (MBCN).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} ]

где (a) и (b) — основания, а (h) — высота трапеции.

Для нашей задачи важно, что высоты обеих образовавшихся трапеций равны, так как они одинаково делят высоту исходной трапеции. Пусть (h_1) — это высота от средней линии до основания (AB), а (h_2) — высота от средней линии до основания (CD). Итак, (h_1 = h_2 = \frac{h}{2}).

Теперь найдем площади новых трапеций:

1. Площадь трапеции (AMND):

[ S_{AMND} = \frac{(AB + MN) \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{(AB + \frac{AB + CD}{2}) \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{(2AB + CD) \cdot \frac{h}{2}}{4} ]

1. Площадь трапеции (MBCN):

[ S_{MBCN} = \frac{(MN + CD) \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{(\frac{AB + CD}{2} + CD) \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{(AB + 2CD) \cdot \frac{h}{2}}{4} ]

Теперь найдем отношение площадей (S{AMND}) к (S{MBCN}):

[ \frac{S{AMND}}{S{MBCN}} = \frac{\frac{(2AB + CD) \cdot \frac{h}{2}}{4}}{\frac{(AB + 2CD) \cdot \frac{h}{2}}{4}} = \frac{2AB + CD}{AB + 2CD} ]

Подставим соотношение (AB = 5k) и (CD = 9k):

[ \frac{S{AMND}}{S{MBCN}} = \frac{2(5k) + 9k}{5k + 2(9k)} = \frac{10k + 9k}{5k + 18k} = \frac{19k}{23k} = \frac{19}{23} ]

Таким образом, площади трапеций (AMND) и (MBCN) относятся как 19:23.

Пусть основания трапеции равны 5х и 9х, где х - коэффициент пропорциональности. Тогда площадь исходной трапеции S1 = (5х + 9х) h / 2 = 7х h, где h - высота трапеции.

Средняя линия трапеции делит ее на две равные трапеции, площади которых можно обозначить как S2 и S3. Так как средняя линия параллельна основаниям трапеции, то основания новых трапеций будут равны 7х и 7х. Следовательно, их площади будут равны S2 = S3 = 7х h / 2 = 3.5х h.

Таким образом, площади трапеций, на которые данную трапецию делит средняя линия, относятся как 1:2.