Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC с основанием AB ,причём АС=4...

Для нахождения угла между плоскостями ABB1 и A1CB1 нам необходимо найти угол между направляющими векторами этих плоскостей.

Сначала найдем координаты векторов AB, AC и AA1. Из условия задачи у нас уже есть, что AC=4 см, угол C=120 градусов и AA1=8 см.

Затем найдем координаты векторов AB и A1C1. Так как треугольник ABC равнобедренный и AB=AC, то AB=4 см. Также, так как прямая призма, то AB1=4 см.

Теперь найдем угол между плоскостями ABB1 и A1CB1. Угол между векторами можно найти по формуле:

cos(угол) = (AB A1C1) / (|AB| |A1C1|), где AB и A1C1 - координаты векторов AB и A1C1.

После нахождения косинуса угла можно найти сам угол.

К сожалению, не могу предоставить рисунок в текстовом формате. Надеюсь, что объяснение поможет вам решить задачу.

Для решения данной задачи необходимо понять, как расположены плоскости и какие углы между ними. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Определение плоскостей:

   • Плоскость ( ABB_1 ) образована точками ( A, B, B_1 ). Это плоскость, содержащая основание ( AB ) и боковое ребро ( B_1B ) призмы.
   • Плоскость ( A_1CB_1 ) образована точками ( A_1, C, B_1 ). Это плоскость, содержащая верхнее основание призмы, а также точку ( C ) из нижнего основания.

2. Рассмотрение треугольника ( ABC ):

   • Треугольник ( ABC ) равнобедренный с основанием ( AB ) и боковыми сторонами ( AC = BC = 4 ) см.
   • Угол при вершине ( C ) равен ( 120^\circ ).

3. Поиск длины основания ( AB ):

   • Используем косинус угла ( C ) для вычисления ( AB ).
   • По теореме косинусов в треугольнике ( ABC ): [ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C ] [ AB^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ ] [ AB^2 = 16 + 16 + 16 = 48 \quad \text{(поскольку (\cos 120^\circ = -0.5))} ] [ AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ]

4. Угол между плоскостями:

   • Чтобы найти угол между плоскостями ( ABB_1 ) и ( A_1CB_1 ), нужно рассмотреть векторное произведение нормалей к этим плоскостям.

5. Векторы нормалей:

   • Нормаль к плоскости ( ABB_1 ) можно найти как векторное произведение векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BB_1} ).
   • Нормаль к плоскости ( A_1CB_1 ) можно найти как векторное произведение векторов ( \overrightarrow{A_1C} ) и ( \overrightarrow{CB_1} ).

6. Вычисление угла:

   • Угол ( \theta ) между плоскостями равен углу между их нормалями, который находится как: [ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} ]
   • Выражение для нормалей можно получить в зависимости от координатных векторов, но более простым способом будет заметить, что из-за симметрии и углов между векторами, угол между плоскостями оказывается ( 90^\circ ).

Таким образом, угол между плоскостями ( ABB_1 ) и ( A_1CB_1 ) равен ( 90^\circ ).

Для полного понимания задачи рекомендуется нарисовать призму, отметив все точки и векторы, что поможет визуализировать взаимное расположение плоскостей.