Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшее из диагональных...

Для решения этой задачи нам нужно сначала найти высоту призмы. Поскольку основание призмы - ромб, то мы можем найти высоту как произведение длины одной из диагоналей основания на синус угла между этой диагональю и одной из сторон ромба.

Длина диагонали ромба равна 12 см, следовательно, его половина (сторона квадрата) равна 6 см. Угол между диагональю и стороной ромба равен 60 градусов, тогда синус этого угла равен sin(60°) = √3/2.

Теперь можем найти высоту призмы: h = 6 см * √3/2 = 3√3 см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Она равна периметру основания умноженному на высоту призмы: Sбок = 4 12 см 3√3 см = 144√3 см².

Площадь основания призмы равна площади ромба: Sосн = 12 см 12 см sin(60°) = 72√3 см².

Таким образом, полная площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двойной площади основания: S = 144√3 см² + 2 * 72√3 см² = 288√3 см².

Для начала разберёмся с основанием призмы, которое является ромбом. Сторона ромба равна 12 см, а один из углов — 60 градусов. Это позволяет нам определить длины диагоналей ромба, так как они могут быть найдены через формулы, используя тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках, которые образуются при делении ромба диагоналями.

Диагонали ромба делят его на четыре равнобедренных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. Если обозначить короткую диагональ за (d_1), а длинную за (d_2), и используя свойства этих треугольников, получаем:

• Короткая диагональ делит угол в 30° и 60°, тогда одна половина короткой диагонали равна (12 \cdot \sin(30°) = 12 \cdot 0.5 = 6) см. Следовательно, (d_1 = 2 \cdot 6 = 12) см.
• Длинная диагональ делит угол в 60° и 30°, тогда одна половина длинной диагонали равна (12 \cdot \sin(60°) = 12 \cdot \sqrt{3}/2 = 6\sqrt{3}) см. Следовательно, (d_2 = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}) см.

Далее, из условия задачи известно, что меньшее диагональное сечение призмы является квадратом. Это значит, что высота призмы (обозначим (h)) равна длине короткой диагонали ромба, то есть (h = 12) см.

Теперь можно найти площадь полной поверхности призмы:

1. Площадь одной боковой грани (прямоугольника с размерами 12 см и 12 см) равна (12 \cdot 12 = 144) см².
2. Так как боковых граней четыре, их общая площадь составит (4 \cdot 144 = 576) см².
3. Площадь основания (ромба) можно найти как половину произведения его диагоналей: (\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\sqrt{3} = 72\sqrt{3}) см².
4. Так как оснований у призмы два, их общая площадь составит (2 \cdot 72\sqrt{3} = 144\sqrt{3}) см².

Приближенно (\sqrt{3} \approx 1.732), отсюда (144\sqrt{3} \approx 144 \cdot 1.732 = 249.408) см². Итак, полная площадь поверхности призмы составляет (576 + 249.408 \approx 825.408) см².