Основанием прямоугольного параллелипипеда служит квадрат со сторонами , равными корень из 2 . Найти...

Объем прямоугольного параллелипипеда равен 2.

Решение: Пусть сторона квадрата основания равна a = √2, тогда площадь основания S = a^2 = 2. Обозначим высоту параллелипипеда h. Так как диагональ образует с плоскостью основания угол 45 градусов, то в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и полудиагональю основания, угол при основании равен 45 градусов. Тогда, воспользовавшись теоремой Пифагора для этого треугольника, найдем h: (h^2 + a^2) = (2a)^2 (h^2 + 2) = 8 h^2 = 6 h = √6

Таким образом, объем параллелипипеда V = Sh = 2√6 = 2.4.

Рисунок: A____B /| /| / | / | C|____D | | | | | | E__|F | / | / |/_____|/

Где A, B, C, D - вершины основания, E, F - вершины противоположного основания. Вершина E находится под вершиной A, вершина F - под вершиной B.

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту параллелепипеда, зная длину его диагонали и угла, который эта диагональ образует с плоскостью основания.

Пусть длина диагонали параллелепипеда равна d, сторона квадрата основания равна a, а высота параллелепипеда - h. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника получаем: (d^2 = a^2 + h^2).

Из условия задачи известно, что угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусам. Это значит, что прямой треугольник, образованный диагональю и высотой, является равнобедренным. Таким образом, у нас есть еще одно соотношение: (\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{\sqrt{2}}}), (\frac{1}{1} = \frac{h}{\frac{a}{\sqrt{2}}}), (h = \frac{a}{\sqrt{2}}).

Подставляем это значение h в уравнение Пифагора: (d^2 = a^2 + (\frac{a}{\sqrt{2}})^2), (d^2 = a^2 + \frac{a^2}{2}), (d^2 = \frac{3a^2}{2}), (a = \frac{2d}{\sqrt{3}}).

Теперь можем найти объем параллелепипеда: (V = a^2 \cdot h = \frac{2d}{\sqrt{3}} \cdot (\frac{2d}{\sqrt{3}}) \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4d^2}{3} \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4d^3}{3\sqrt{2}}).

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен (\frac{4d^3}{3\sqrt{2}}).

Для решения задачи необходимо найти объем прямоугольного параллелепипеда, основание которого является квадратом со стороной (\sqrt{2}), а диагональ образует угол (45^\circ) с плоскостью основания.

1. Обозначения и начальные данные:

   • Сторона квадрата основания: (a = \sqrt{2}).
   • Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания: (\theta = 45^\circ).

2. Формула для объема: Объем прямоугольного параллелепипеда (V) равен произведению длины, ширины и высоты: [ V = a \cdot a \cdot h = a^2 \cdot h ] где (h) — высота параллелепипеда.

3. Диагональ параллелепипеда: Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда выражается как: [ d = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} ] Поскольку диагональ образует угол (45^\circ) с плоскостью основания, это даёт нам: [ \cos(45^\circ) = \frac{a\sqrt{2}}{d} ] Следовательно: [ \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2 + h^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

4. Уравнение для высоты (h): Упростим уравнение: [ \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2 + h^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ 2a\sqrt{2} = \sqrt{2a^2 + h^2} ] Возведём обе части в квадрат: [ 8a^2 = 2a^2 + h^2 ] [ 6a^2 = h^2 ] [ h = \sqrt{6}a ]

5. Подстановка значений: Так как (a = \sqrt{2}), подставим это значение в формулу для высоты: [ h = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

6. Объём параллелепипеда: [ V = a^2 \cdot h = (\sqrt{2})^2 \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} ]

Таким образом, объем параллелепипеда составляет (4\sqrt{3}).

Рисунок для такой задачи можно представить в виде прямоугольного параллелепипеда, где основание — квадрат со стороной (\sqrt{2}), а высота (2\sqrt{3}). Диагональ идет от одной вершины параллелепипеда к противоположной, образуя угол (45^\circ) с плоскостью основания.