Острый угол между диагоналями прямоугольника 60 градусов, меньшая его сторона 1,5 дм. Вычислить радиус...

Радиус описанной окружности прямоугольника равен 3 дм.

Чтобы найти радиус окружности, описанной около прямоугольника, необходимо сначала определить диагонали и стороны прямоугольника.

Дан прямоугольник, у которого острый угол между диагоналями равен 60 градусов, и меньшая сторона равна 1,5 дм. Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ), где ( a = 1.5 ) дм, а ( b ) — неизвестная сторона. Диагонали прямоугольника равны, и каждая из них по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами ( a ) и ( b ) будет равна:

[ d = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Так как угол между диагоналями равен 60 градусов, мы можем использовать косинус угла между диагоналями:

[ \cos(60^\circ) = \frac{d_1 \cdot d_2}{d^2} ]

где ( d_1 = d_2 = d ). Так как (\cos(60^\circ) = 0.5), то:

[ 0.5 = \frac{d^2}{d^2} ]

Это уравнение всегда верно при условии, что (d_1 = d_2).

Теперь, используя формулу для диагонали и подставляя её в уравнение для косинуса, получаем:

[ d^2 = a^2 + b^2 ]

Подставив значение меньшей стороны, получаем:

[ d^2 = 1.5^2 + b^2 ]

Также известно, что:

[ d = \sqrt{1.5^2 + b^2} ]

При этом, используя свойства косинуса, имеем:

[ d = \frac{1.5^2 + b^2}{2} ]

Теперь решим уравнение относительно ( b ), подставляя в уравнение для косинуса:

[ 0.5 = \frac{1.5^2 + b^2}{2 \times (1.5^2 + b^2)} ]

Эта формула не может быть верной, так как мы не учли, что угол в 60 градусов предполагает равенство половины диагонали с половиной суммы квадратов сторон. Таким образом, данный подход сложен для вычисления без дополнительных параметров.

Однако, в случае прямоугольника, описанная окружность имеет радиус, равный половине диагонали:

[ R = \frac{d}{2} ]

Так как диагонали делятся углом в 60 градусов в два равных угла по 30 градусов, то

[ R = \frac{\sqrt{1.5^2 + b^2}}{2} ]

Для нахождения ( b ) используем уравнение:

[ 1.5^2 + b^2 = d^2 ]

Зная, что:

[ d^2 = 2(1.5^2 + b^2) ]

Итак, решая его, мы можем определить ( b ), а затем и сам радиус ( R ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством прямоугольника, что диагонали являются перпендикулярными и делятся пополам.

Пусть диагонали прямоугольника равны d1 и d2, тогда мы можем записать следующее уравнение: d1 d2 = 2 (сторона^2)

Так как острый угол между диагоналями равен 60 градусам, то у нас получается равносторонний треугольник со стороной, равной половине диагонали: d1/2 = d2/2 = сторона * √2

Так как меньшая сторона прямоугольника равна 1,5 дм, то длина диагонали равна: d1 = d2 = 1,5 √2 2 = 3√2 дм

Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной около прямоугольника. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине длины диагонали: r = d1 / 2 = 3√2 / 2 дм

Итак, радиус окружности описанной около данного прямоугольника равен 3√2 / 2 дм или приблизительно 2,12 дм.