Острый угол параллелограмма равен 60 градусов, его площадь равна 11√3, меньшая диагональ равна 10. Найдите...

Рассмотрим параллелограмм (ABCD) с острым углом ( \angle A = 60^\circ ), площадью ( S = 11\sqrt{3} ), и меньшей диагональю ( AC = 10 ).

1. Определим стороны параллелограмма:

   Площадь параллелограмма (S) также можно выразить через стороны (a) и (b) и угол между ними:

   [ S = a b \sin 60^\circ ]

   Поскольку (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), то:

   [ 11\sqrt{3} = a b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

   Следовательно:

   [ a b = 22 ]

2. Используем формулу для диагонали:

   В параллелограмме длины диагоналей (d_1) и (d_2) можно выразить через стороны и угол между ними:

   [ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos 60^\circ} ] [ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos 60^\circ} ]

   Так как (\cos 60^\circ = \frac{1}{2}), у нас:

   [ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + ab} ] [ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - ab} ]

   Нам дано, что меньшая диагональ (d_2 = 10), значит:

   [ 10 = \sqrt{a^2 + b^2 - ab} ]

   Возведем в квадрат:

   [ 100 = a^2 + b^2 - ab ]

3. Решаем систему уравнений:

   У нас есть две системы уравнений: [ a b = 22 ] [ a^2 + b^2 - ab = 100 ]

   Из первого уравнения (b = \frac{22}{a}). Подставим это значение в уравнение для диагонали:

   [ a^2 + \left(\frac{22}{a}\right)^2 - a \cdot \frac{22}{a} = 100 ]

   Упрощаем:

   [ a^2 + \frac{484}{a^2} - 22 = 100 ]

   Приведем к общему знаменателю:

   [ a^4 + 484 - 22a^2 = 100a^2 ]

   Упрощаем:

   [ a^4 - 122a^2 + 484 = 0 ]

   Это квадратное уравнение относительно (a^2). Введем замену (x = a^2):

   [ x^2 - 122x + 484 = 0 ]

   Решим его по дискриминанту:

   [ D = 122^2 - 4 \cdot 484 = 14884 - 1936 = 12948 ]

   [ x_{1,2} = \frac{122 \pm \sqrt{12948}}{2} ]

   [ \sqrt{12948} \approx 113.82 ]

   [ x_1 = \frac{122 + 113.82}{2} \approx 117.91 ] [ x_2 = \frac{122 - 113.82}{2} \approx 4.09 ]

   Поскольку (a^2) и (b^2) должны быть положительными, мы рассматриваем оба корня:

   [ a^2 = 117.91 \quad \text{или} \quad a^2 = 4.09 ]

   Найдем соответствующие (b):

   Если (a^2 = 117.91), то (b = \sqrt{4.09}). Если (a^2 = 4.09), то (b = \sqrt{117.91}).

4. Определим большую диагональ:

   Найдем большую диагональ (d_1):

   [ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + ab} ]

   Подставим (a = \sqrt{117.91}) и (b = \sqrt{4.09}):

   [ d_1 = \sqrt{117.91 + 4.09 + 22} = \sqrt{144} = 12 ]

   Проверка для другого случая даст тот же результат, поскольку (a) и (b) взаимозаменяемы.

Итак, большая диагональ параллелограмма равна (12) единицам.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма.

Поскольку острый угол параллелограмма равен 60 градусов, то другой острый угол также будет равен 60 градусов, так как сумма углов параллелограмма равна 360 градусов, а значит острые углы будут равны между собой.

Также известно, что площадь параллелограмма равна произведению длины меньшей диагонали на синус угла между этими диагоналями. У нас дана площадь параллелограмма, равная 11√3, и длина меньшей диагонали, равная 10. Таким образом, мы можем найти синус угла между диагоналями.

S = d1 d2 sin(угол) 11√3 = 10 d2 sin(60) 11√3 = 10 d2 √3/2 11 = 5d2 d2 = 11/5 = 2.2

Теперь, когда мы нашли длину большей диагонали параллелограмма, можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения ее.

d^2 = d1^2 + d2^2 - 2 d1 d2 cos(угол) d^2 = 10^2 + 2.2^2 - 2 10 2.2 cos(60) d^2 = 100 + 4.84 - 44 cos(60) d^2 = 104.84 - 44 0.5 d^2 = 104.84 - 22 d^2 = 82.84 d = √82.84 d ≈ 9.10

Итак, большая диагональ параллелограмма равна примерно 9.10.