Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки K(0; 2), L(–1; 9), M(2; –6). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Для нахождения координат вершины параболы, необходимо воспользоваться формулой общего уравнения параболы: y = ax^2 + bx + c. Так как парабола проходит через точки K(0; 2), L(–1; 9), M(2; –6), подставим значения координат точек в уравнение параболы и составим систему уравнений.

1. Для точки K(0; 2): 2 = c
2. Для точки L(–1; 9): 9 = a(-1)^2 + b(-1) + c
3. Для точки M(2; –6): -6 = a(2)^2 + b(2) + c

Подставив значения из точек L и M в уравнение для K, получим: 9 = a - b + 2 -6 = 4a + 2b + 2

Решив данную систему уравнений, найдем значения коэффициентов a, b, c. После этого, координаты вершины параболы будут равны (-b/2a; c).

Чтобы найти координаты вершины параболы, проходящей через точки K(0; 2), L(–1; 9) и M(2; –6), сначала определим уравнение параболы в стандартной форме ( y = ax^2 + bx + c ).

1. Подставим координаты данных точек в уравнение параболы:

   Для точки K(0; 2): [ 2 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 2 ]

   Для точки L(–1; 9): [ 9 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies 9 = a - b + 2 ] [ 9 = a - b + 2 \implies a - b = 7 ]

   Для точки M(2; –6): [ -6 = a(2)^2 + b(2) + c \implies -6 = 4a + 2b + 2 ] [ -6 = 4a + 2b + 2 \implies 4a + 2b = -8 ] [ 2a + b = -4 ]

2. Теперь у нас есть система уравнений: [ \begin{cases} a - b = 7 \ 2a + b = -4 \end{cases} ]

3. Решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения, чтобы исключить ( b ): [ a - b + 2a + b = 7 - 4 ] [ 3a = 3 \implies a = 1 ]

4. Подставим значение ( a ) в первое уравнение: [ 1 - b = 7 \implies b = -6 ]

5. Таким образом, у нас есть коэффициенты ( a = 1 ), ( b = -6 ) и ( c = 2 ). Уравнение параболы выглядит как: [ y = x^2 - 6x + 2 ]

6. Координаты вершины параболы можно найти, используя формулы для ( x ) и ( y ) координат вершины ( (x_v, y_v) ): [ x_v = -\frac{b}{2a} ] [ y_v = c - \frac{b^2}{4a} ]

7. Подставим найденные значения ( a ), ( b ) и ( c ): [ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 ]

8. Найдем ( y_v ): [ y_v = 2 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 2 - \frac{36}{4} = 2 - 9 = -7 ]

Итак, координаты вершины параболы: ( (3, -7) ).