Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AD. Прямая m, параллельная BC, пересекает плоскости ABE и DCF соответственно в точках H и P. Докажите, что HPFE - параллелограмм
Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AD. Прямая m, параллельная BC, пересекает плоскости ABE и DCF соответственно в точках H и P. Докажите, что HPFE - параллелограмм
Чтобы доказать, что четырехугольник HPFE является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника попарно параллельны.
Рассмотрим параллельность сторон HP и FE:
По условию, плоскость ABE пересекается с прямой m в точке H, а плоскость DCF пересекается с прямой m в точке P. Прямая m параллельна стороне BC параллелограмма ABCD. Это означает, что ( HP \parallel BC ).
Поскольку BC является стороной параллелограмма ABCD, то она параллельна стороне AD. Следовательно, ( HP \parallel AD ).
В параллелограмме ADFE сторона AD параллельна стороне FE. Таким образом, ( HP \parallel FE ).
Рассмотрим параллельность сторон HF и PE:
Стороны AD и FE являются противоположными сторонами параллелограмма ADFE, следовательно, они параллельны ( (AD \parallel FE) ).
Поскольку HP параллельна AD (как было показано выше), а AD параллельна FE, по транзитивности параллельности, ( HP \parallel FE ).
В связи с этим, обратимся к фигуре: если HP параллельна FE, то также и HF будет параллельна PE, так как они соединяют соответствующие вершины параллельных сторон (аналогично тому, как в параллелограмме).
Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника HPFE попарно параллельны. Следовательно, HPFE является параллелограммом.
Для доказательства того, что HPFE - параллелограмм, нам нужно показать, что соответствующие стороны этого четырехугольника параллельны и равны.
Поскольку прямая m параллельна стороне BC параллелограмма ABCD, то углы AHB и BHC будут соответственно прямыми, так как они являются вертикальными углами. Аналогично, углы DPF и FPE также будут прямыми углами.
Теперь рассмотрим треугольники AHB и DPF. Учитывая, что угол AHB прямой, а угол DPF также прямой, то эти два треугольника будут подобны по признаку углов, так как один угол в них равен, а два других прямые.
Следовательно, соответствующие стороны параллелограмма HPFE будут параллельны и равны, так как соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны. Значит, HPFE действительно является параллелограммом.
