Периметр параллелограмма равен 64 см, а его высоты – 7 см и 9 см. Найти стороны параллелограмма.
Периметр параллелограмма равен 64 см, а его высоты – 7 см и 9 см. Найти стороны параллелограмма.
Периметр параллелограмма равен 64 см, значит сумма длин его противоположных сторон равна 32 см (так как P = 2(a + b)). Обозначим стороны параллелограмма как (a) и (b).
Площадь параллелограмма можно выразить через высоты и стороны: (S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2), где (h_1 = 7) см и (h_2 = 9) см.
Таким образом, имеем два уравнения:
Из второго уравнения выразим (b): (b = \frac{7}{9} a).
Подставим (b) в первое уравнение: (a + \frac{7}{9} a = 32).
Объединим: (\frac{16}{9} a = 32).
Умножим обе стороны на (\frac{9}{16}): (a = 18) см.
Теперь найдем (b): (b = 32 - a = 32 - 18 = 14) см.
Таким образом, стороны параллелограмма составляют 18 см и 14 см.
Давайте подробно разберем эту задачу.
Стороны параллелограмма ( a ) и ( b ).
Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: [ P = 2(a + b). ] Отсюда получаем: [ a + b = \frac{P}{2} = \frac{64}{2} = 32 \, \text{см}. ]
Площадь параллелограмма ( S ) можно выразить через основание и соответствующую высоту: [ S = a h_1 = b h_2. ] Из этого следует: [ a h_1 = b h_2. ]
Из уравнения ( a h_1 = b h_2 ) выразим ( b ) через ( a ): [ b = \frac{a h_1}{h_2}. ] Подставим значения ( h_1 = 7 ) и ( h_2 = 9 ): [ b = \frac{7a}{9}. ]
Подставим ( b = \frac{7a}{9} ) в уравнение ( a + b = 32 ): [ a + \frac{7a}{9} = 32. ]
Приведем к общему знаменателю: [ \frac{9a}{9} + \frac{7a}{9} = 32. ] [ \frac{16a}{9} = 32. ]
Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от дроби: [ 16a = 288. ]
Разделим на 16: [ a = \frac{288}{16} = 18 \, \text{см}. ]
Найдем ( b ) из уравнения ( a + b = 32 ): [ b = 32 - a = 32 - 18 = 14 \, \text{см}. ]
Периметр: [ P = 2(a + b) = 2(18 + 14) = 2 \cdot 32 = 64 \, \text{см}. ] Условие выполнено.
Площадь: Найдем площадь через обе высоты: [ S = a h_1 = 18 \cdot 7 = 126 \, \text{см}^2, ] [ S = b h_2 = 14 \cdot 9 = 126 \, \text{см}^2. ] Площадь совпадает, значит, решение верно.
Стороны параллелограмма: ( a = 18 \, \text{см} ) и ( b = 14 \, \text{см} ).
Чтобы найти стороны параллелограмма, нам нужно использовать информацию о его периметре и высотах.
Периметр параллелограмма определяется как:
[ P = 2(a + b) ]
где ( a ) и ( b ) — длины соседних сторон параллелограмма.
Дано, что периметр равен 64 см, значит:
[ 2(a + b) = 64 ]
Отсюда следует, что:
[ a + b = 32 \quad (1) ]
Также мы знаем, что высоты, проведенные к сторонам ( a ) и ( b ), равны 7 см и 9 см соответственно. Высота ( h_a ) к стороне ( a ) и высота ( h_b ) к стороне ( b ) связаны с площадью параллелограмма следующим образом:
[ S = a \cdot h_a = b \cdot h_b ]
где ( S ) — площадь параллелограмма.
Подставим высоты в формулы:
[ S = a \cdot 7 \quad (2) ] [ S = b \cdot 9 \quad (3) ]
Так как обе формулы равны площади ( S ), то можем приравнять их:
[ a \cdot 7 = b \cdot 9 ]
Теперь выразим одну переменную через другую.
Из уравнения (2) выразим ( a ):
[ a = \frac{S}{7} ]
Подставим это в уравнение (3):
[ \frac{S}{7} \cdot 7 = b \cdot 9 ]
Сократим:
[ S = b \cdot 9 ]
Теперь выразим ( b ):
[ b = \frac{S}{9} \quad (4) ]
Теперь подставим (4) в (1):
[ a + b = 32 ]
Заменим ( a ) и ( b ):
[ \frac{S}{7} + \frac{S}{9} = 32 ]
Чтобы решить это уравнение, найдем общий знаменатель для дробей, который равен 63:
[ \frac{9S}{63} + \frac{7S}{63} = 32 ]
Объединяем дроби:
[ \frac{16S}{63} = 32 ]
Теперь умножим обе стороны на 63:
[ 16S = 32 \cdot 63 ]
Решим это уравнение:
[ 16S = 2016 ] [ S = \frac{2016}{16} = 126 ]
Теперь, когда мы нашли площадь ( S ), можем найти стороны ( a ) и ( b ).
Используя выражения (2) и (4):
[ a = \frac{S}{7} = \frac{126}{7} = 18 ] [ b = \frac{S}{9} = \frac{126}{9} = 14 ]
Таким образом, стороны параллелограмма равны:
[ a = 18 \, \text{см} ] [ b = 14 \, \text{см} ]
Итак, стороны параллелограмма равны 18 см и 14 см.
