Периметр прямоугольника АВСД равен 56, а периметр одного из треугольников, на который его делит диагональ АС равен 48 см. Найдите длину диагонали АС
Периметр прямоугольника АВСД равен 56, а периметр одного из треугольников, на который его делит диагональ АС равен 48 см. Найдите длину диагонали АС
Для решения задачи начнем с обозначения сторон прямоугольника ABCD. Пусть длина стороны AB равна ( a ), а длина стороны AD равна ( b ).
Периметр прямоугольника определяется по формуле:
[ P = 2(a + b) ]
Согласно условию задачи, периметр прямоугольника ABCD равен 56 см:
[ 2(a + b) = 56 ]
Разделим обе части уравнения на 2:
[ a + b = 28 \quad (1) ]
Теперь рассмотрим треугольник ABC, который формируется с вершинами A, B и C. Периметр этого треугольника равен 48 см:
[ P_{ABC} = AB + AC + BC ]
Где:
Таким образом, периметр треугольника ABC можно записать как:
[ P_{ABC} = a + b + d = 48 ]
Подставим значение из уравнения (1):
[ 28 + d = 48 ]
Решим это уравнение для ( d ):
[ d = 48 - 28 ] [ d = 20 \text{ см} ]
Таким образом, длина диагонали AC равна 20 см.
Теперь мы можем сделать вывод: Длина диагонали ( AC ) (или ( d )) равна 20 см.
Давайте разберем задачу поэтапно.
Периметр прямоугольника равен: [ P_{\text{прямоугольника}} = 2(a + b), ] где ( a ) и ( b ) — длины сторон прямоугольника.
Диагональ ( АС ) прямоугольника делит его на два равнобедренных треугольника, и периметр одного из треугольников состоит из суммы двух сторон прямоугольника (( a ) и ( b )) и диагонали (( d )): [ P_{\text{треугольника}} = a + b + d. ]
По условию: [ P_{\text{прямоугольника}} = 56, ] значит: [ 2(a + b) = 56 \quad \implies \quad a + b = 28. ]
Для одного из треугольников: [ P_{\text{треугольника}} = a + b + d = 48. ] Подставим значение ( a + b = 28 ): [ 28 + d = 48 \quad \implies \quad d = 48 - 28 = 20. ]
Длина диагонали ( АС ) равна: [ \boxed{20 \, \text{см}}. ]
