Периметр равнобедренного треугольника в 4 раза больше основания и на 10см больше боковой стороны.Найдите...

Обозначим основание равнобедренного треугольника как ( a ), а боковую сторону как ( b ). По условию задачи имеем:

1. Периметр ( P = 2b + a ).
2. ( P = 4a ).
3. ( P = b + 10 ).

Составим систему уравнений:

1. ( 2b + a = 4a ) (периметр равен 4-кратному основанию)
2. ( 2b + a = b + 10 ) (периметр равен боковой стороне плюс 10 см)

Теперь решим эту систему:

Из первого уравнения: [ 2b + a = 4a ] [ 2b = 3a ] [ b = \frac{3a}{2} ]

Подставим ( b ) во второе уравнение: [ 2\left(\frac{3a}{2}\right) + a = \frac{3a}{2} + 10 ] [ 3a + a = \frac{3a}{2} + 10 ] [ 4a = \frac{3a}{2} + 10 ]

Умножим все на 2, чтобы избавиться от дробей: [ 8a = 3a + 20 ] [ 5a = 20 ] [ a = 4 ]

Теперь найдем боковую сторону: [ b = \frac{3a}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 ]

Таким образом, стороны треугольника:

• Основание ( a = 4 ) см,
• Боковые стороны ( b = 6 ) см (по 2 стороны).

Ответ: основание 4 см, боковые стороны по 6 см.

Рассмотрим задачу поэтапно и разберем её детально.

Условие

Периметр равнобедренного треугольника:

1. В 4 раза больше основания.
2. На 10 см больше боковой стороны.

Нужно найти длины всех сторон треугольника.

Обозначения

Обозначим:

• Основание треугольника через ( a );
• Боковую сторону треугольника через ( b );
• Периметр треугольника через ( P ).

Шаг 1. Запись формулы периметра

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: [ P = a + b + b = a + 2b ]

Шаг 2. Учет условия задачи

1. По условию, периметр в 4 раза больше основания: [ P = 4a ]

2. Также сказано, что периметр на 10 см больше боковой стороны: [ P = b + 10 ]

Шаг 3. Составление системы уравнений

Теперь у нас есть три уравнения:

1. ( P = a + 2b );
2. ( P = 4a );
3. ( P = b + 10 ).

Так как ( P ) одинаково во всех уравнениях, приравняем их между собой: [ a + 2b = 4a \quad \text{(из 1 и 2)} ] [ a + 2b = b + 10 \quad \text{(из 1 и 3)}. ]

Шаг 4. Решение системы уравнений

Уравнение 1: ( a + 2b = 4a )

Переносим ( a ) в правую часть: [ 2b = 4a - a ] [ 2b = 3a ] [ b = \frac{3a}{2}. ]

Уравнение 2: ( a + 2b = b + 10 )

Переносим ( b ) в левую часть и ( a ) в правую: [ a + 2b - b = 10 ] [ a + b = 10. ]

Подставим ( b = \frac{3a}{2} ) в это уравнение: [ a + \frac{3a}{2} = 10. ]

Приводим к общему знаменателю: [ \frac{2a}{2} + \frac{3a}{2} = 10. ] [ \frac{5a}{2} = 10. ]

Умножим обе стороны на 2: [ 5a = 20. ] [ a = 4. ]

Шаг 5. Нахождение ( b )

Подставим ( a = 4 ) в выражение для ( b ): [ b = \frac{3a}{2}. ] [ b = \frac{3 \cdot 4}{2}. ] [ b = 6. ]

Шаг 6. Проверка

1. Основание ( a = 4 ), боковая сторона ( b = 6 ).
2. Периметр: [ P = a + 2b = 4 + 2 \cdot 6 = 4 + 12 = 16. ]
3. Условие 1: периметр в 4 раза больше основания: [ P = 4a \quad \Rightarrow \quad 16 = 4 \cdot 4. ] Выполняется.
4. Условие 2: периметр на 10 см больше боковой стороны: [ P = b + 10 \quad \Rightarrow \quad 16 = 6 + 10. ] Выполняется.

Ответ

Стороны треугольника:

• Основание: ( a = 4 ) см,
• Боковые стороны: ( b = 6 ) см.

Для решения задачи обозначим следующие параметры равнобедренного треугольника:

• ( a ) — основание треугольника.
• ( b ) — длина боковой стороны треугольника.

Согласно условию задачи, периметр равнобедренного треугольника в 4 раза больше основания и на 10 см больше боковой стороны. Периметр ( P ) равнобедренного треугольника можно выразить следующим образом:

[ P = a + 2b ]

Согласно условиям задачи, мы можем записать два уравнения:

1. Периметр в 4 раза больше основания: [ P = 4a ]

2. Периметр на 10 см больше боковой стороны: [ P = b + 10 ]

Теперь у нас есть три выражения для периметра ( P ). Подставим первое выражение во второе:

[ 4a = b + 10 ]

Теперь выразим ( b ) через ( a ):

[ b = 4a - 10 ]

Теперь подставим это выражение для ( b ) во второе уравнение для периметра:

[ P = a + 2b = a + 2(4a - 10) = a + 8a - 20 = 9a - 20 ]

Теперь у нас есть два выражения для периметра ( P ):

1. ( P = 4a )
2. ( P = 9a - 20 )

Приравняем их:

[ 4a = 9a - 20 ]

Переносим все ( a ) в одну сторону:

[ 20 = 9a - 4a ] [ 20 = 5a ]

Теперь решим для ( a ):

[ a = \frac{20}{5} = 4 \text{ см} ]

Теперь, зная ( a ), найдем ( b ):

[ b = 4a - 10 = 4 \cdot 4 - 10 = 16 - 10 = 6 \text{ см} ]

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника:

• Основание ( a = 4 ) см
• Боковая сторона ( b = 6 ) см

Теперь можно проверить:

Периметр:

[ P = a + 2b = 4 + 2 \cdot 6 = 4 + 12 = 16 \text{ см} ] Сравним с 4-кратным основанием:

[ 4a = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см} ]

И с боковой стороной:

[ b + 10 = 6 + 10 = 16 \text{ см} ]

Все условия задачи выполнены. Ответ:

• Основание: ( 4 ) см
• Боковая сторона: ( 6 ) см