Периметр ромба равен 60, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба

Для решения задачи найдем сначала длину стороны ромба. Поскольку периметр ромба равен 60, а ромб имеет четыре равные стороны, длина каждой стороны будет:

[ \frac{60}{4} = 15 ]

Теперь, зная, что один из углов ромба равен 30°, можем использовать свойства ромба и тригонометрические функции для нахождения площади.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу:

[ S = a \times h ]

где ( a ) — сторона ромба, а ( h ) — высота, опущенная на эту сторону. Так как у нас есть угол и сторона, можно найти высоту через синус угла.

Рассмотрим один из треугольников, образованных диагоналями ромба (высота будет являться одной из высот этих треугольников). В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю и сторонами ромба, высота будет равна:

[ h = a \sin(30^\circ) ]

Зная, что (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}), получаем:

[ h = 15 \times \frac{1}{2} = 7.5 ]

Теперь можем найти площадь ромба:

[ S = a \times h = 15 \times 7.5 = 112.5 ]

Таким образом, площадь ромба равна ( 112.5 ) квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства ромба.

1. Поскольку у нас есть угол в 30°, то это значит, что у нас есть равнобедренный треугольник внутри ромба. Рассмотрим этот треугольник:

2. Поскольку угол внутри ромба равен 30°, то у нас имеется прямоугольный треугольник с гипотенузой равной одной из сторон ромба, а катетами - половина стороны ромба и радиус вписанной окружности (так как угол равен 30°, то треугольник равнобедренный).

3. Периметр ромба равен 60, значит каждая сторона ромба равна 15 (60/4).

4. Разобьем прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет угол в 15°.

5. Теперь, зная угол в 15° и гипотенузу, можем найти катеты треугольника.

6. После того, как найдены катеты, можем найти высоту ромба, которая равна одному из катетов прямоугольного треугольника.

7. Площадь ромба равна произведению диагоналей, деленному на 2. Одна из диагоналей - это 30 (15 * 2), а другая - высота, которую мы нашли в предыдущем пункте.

8. Подставляем значения и находим площадь ромба.