Перметр ромба равен 20, а один из углов равен 30 градусов. найдите площадь ромба.

Для решения задачи найдем площадь ромба, используя заданные параметры: его периметр и один из углов.

Дано:

1. Периметр ромба ( P = 20 );
2. Один из углов ромба ( \alpha = 30^\circ ).

Шаг 1: Найдем сторону ромба

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Поскольку у ромба все стороны равны, длина одной стороны ( a ) равна: [ a = \frac{P}{4} = \frac{20}{4} = 5. ]

Шаг 2: Формула площади ромба

Площадь ромба может быть вычислена по формуле: [ S = a^2 \cdot \sin(\alpha), ] где ( a ) — сторона ромба, а ( \sin(\alpha) ) — синус угла между двумя соседними сторонами.

Подставим известные значения. Мы уже нашли, что ( a = 5 ), а угол ( \alpha = 30^\circ ). Значение ( \sin(30^\circ) = 0.5 ).

Тогда: [ S = 5^2 \cdot \sin(30^\circ) = 25 \cdot 0.5 = 12.5. ]

Ответ:

Площадь ромба равна ( \mathbf{12{,}5} ) квадратных единиц.

Проверка:

Если использовать другую формулу площади ромба (через произведение диагоналей), результат будет идентичным, что подтверждает правильность вычислений.

Чтобы найти площадь ромба, зная его периметр и один из углов, следуем следующим шагам:

1. Определение длины стороны ромба: Периметр ромба ( P ) равен 20, а так как все стороны ромба равны, можно выразить длину стороны ( a ): [ P = 4a \implies a = \frac{P}{4} = \frac{20}{4} = 5 ] Таким образом, длина стороны ромба ( a = 5 ).

2. Определение площади ромба: Площадь ромба можно вычислить, зная его стороны и угол между ними. Площадь ( S ) ромба вычисляется по формуле: [ S = a^2 \cdot \sin(\alpha) ] где ( \alpha ) — угол между сторонами ромба.

   В нашем случае один из углов ромба равен 30 градусов. Следовательно, [ S = a^2 \cdot \sin(30^\circ) ] Поскольку ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), подставляем значение: [ S = 5^2 \cdot \frac{1}{2} = 25 \cdot \frac{1}{2} = 12.5 ]

Таким образом, площадь ромба равна ( 12.5 ) квадратных единиц.