Площадь диагонального сечения куба 25 корней из 2 см в квадрате. Найдите объём куба.

Для решения задачи определим, что представляет собой диагональное сечение куба и как его площадь связана с его геометрическими характеристиками.

Шаг 1. Геометрия куба и диагонального сечения

Куб — это правильный многогранник, у которого все ребра равны, а все грани представляют собой квадраты. Пусть длина ребра куба равна ( a ).

Диагональное сечение куба — это сечение плоскостью, проходящей через две противоположные диагонали граней куба. Такое сечение представляет собой прямоугольник, стороны которого равны:

• ( a ) (длина ребра куба),
• и ( a\sqrt{2} ) (диагональ одной из граней куба, так как диагональ квадрата со стороной ( a ) вычисляется по формуле ( \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} )).

Таким образом, площадь диагонального сечения равна: [ S = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}. ]

Шаг 2. Используем данное значение площади

По условию задачи, площадь диагонального сечения равна ( 25\sqrt{2} ) см². Подставим это значение в формулу площади: [ a^2\sqrt{2} = 25\sqrt{2}. ]

Упростим уравнение: [ a^2 = 25. ]

Извлечем квадратный корень: [ a = 5 \, \text{см}. ]

Шаг 3. Вычисление объема куба

Объем куба вычисляется по формуле: [ V = a^3. ]

Подставим ( a = 5 ): [ V = 5^3 = 125 \, \text{см}^3. ]

Ответ:

Объем куба равен: [ \boxed{125 \, \text{см}^3}. ]

Для нахождения объёма куба, зная площадь диагонального сечения, можно использовать свойства куба и геометрические соотношения.

1. Определение диагонального сечения: Диагональное сечение куба — это сечение, которое проходит через три вершины, не лежащие на одной грани. Для куба с длиной ребра ( a ) диагональное сечение представляет собой квадрат, диагонали которого равны длине диагонали самого куба.

2. Длина диагонали квадрата: Площадь диагонального сечения равна ( S = \frac{d^2}{2} ), где ( d ) — длина диагонали квадрата. Если обозначить площадь диагонального сечения как ( S = 25\sqrt{2} ) см², то можно выразить длину диагонали: [ d^2 = 2S = 2 \cdot 25\sqrt{2} = 50\sqrt{2} ] [ d = \sqrt{50\sqrt{2}} = \sqrt{50} \cdot \sqrt[4]{2} = 5\sqrt{2} \cdot 2^{1/4} ]

3. Длина диагонали куба: Длина диагонали куба может быть найдена по формуле: [ D = a\sqrt{3} ] где ( D ) — длина диагонали куба. Мы можем приравнять ( D ) к ( d ): [ a\sqrt{3} = 5\sqrt{2} \cdot 2^{1/4} ]

4. Нахождение длины ребра куба: Теперь мы можем выразить ( a ): [ a = \frac{5\sqrt{2} \cdot 2^{1/4}}{\sqrt{3}} ]

5. Нахождение объёма куба: Объём куба ( V ) вычисляется по формуле: [ V = a^3 ] Подставляем найденное значение ( a ): [ V = \left( \frac{5\sqrt{2} \cdot 2^{1/4}}{\sqrt{3}} \right)^3 = \frac{125 \cdot 2^{3/2} \cdot 2^{3/4}}{3^{3/2}} = \frac{125 \cdot 2^{(3/2 + 3/4)}}{3 \sqrt{3}} = \frac{125 \cdot 2^{(6/4 + 3/4)}}{3 \sqrt{3}} = \frac{125 \cdot 2^{9/4}}{3 \sqrt{3}} ]

6. Итог: Объём куба равен: [ V = \frac{125 \cdot 2^{9/4}}{3 \sqrt{3}} \text{ см}^3 ]

Таким образом, объём куба, имея площадь диагонального сечения 25 корней из 2 см², составляет ( \frac{125 \cdot 2^{9/4}}{3 \sqrt{3}} ) см³.