Площадь прямоугольного треугольника равна 32 корня из 3 , один из углов равен 60°. Найти: катет, прилежащий...

Площадь прямоугольного треугольника равна ( \frac{1}{2}ab ), где a и b - катеты, а - прилежащий к углу. Так как площадь равна 32√3, получаем ( \frac{1}{2}ab = 32\sqrt{3} ). Один из углов 60°, следовательно, ( \sin{60} = \frac{a}{c} ), где c - гипотенуза. Из уравнения sin 60 = √3 / 2, получаем a = c / 2. Подставляем это в уравнение площади и находим катет.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрическими функциями.

Дан прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен (60^\circ). Пусть этот угол находится напротив катета (b), а (a) — катет, прилежащий к углу (60^\circ). Гипотенузу обозначим через (c).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times a \times b = 32\sqrt{3} ]

С учетом того, что угол (60^\circ) прилежит к катету (a), для него можем использовать тригонометрические соотношения. В частности, косинус угла (60^\circ) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

[ \cos 60^\circ = \frac{a}{c} = \frac{1}{2} ]

Отсюда следует, что гипотенуза (c) равна:

[ c = 2a ]

Синус угла (60^\circ) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

[ \sin 60^\circ = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Подставляя (c = 2a), получаем:

[ \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Отсюда находим:

[ b = \sqrt{3}a ]

Теперь подставим выражения для (b) в уравнение площади:

[ \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{3}a = 32\sqrt{3} ]

[ \frac{\sqrt{3}a^2}{2} = 32\sqrt{3} ]

Умножив обе части уравнения на 2, получим:

[ \sqrt{3}a^2 = 64\sqrt{3} ]

Разделим обе части уравнения на (\sqrt{3}):

[ a^2 = 64 ]

Находим (a):

[ a = \sqrt{64} = 8 ]

Таким образом, катет, прилежащий к углу (60^\circ), равен 8.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника:

S = 0.5 a b

где S - площадь треугольника, а и b - катеты треугольника.

Из условия задачи у нас известно, что S = 32√3 и один из углов треугольника равен 60°. Так как прямоугольный треугольник имеет два катета и гипотенузу, то один из катетов будет прилежащим к углу в 60°.

Запишем формулу для площади треугольника через катеты:

S = 0.5 a b

32√3 = 0.5 a b

64√3 = a * b

Так как у нас один из углов прямой, то сумма двух других углов равна 90°. Зная, что один из углов равен 60°, можем найти второй угол:

90° - 60° = 30°

Теперь у нас есть два угла треугольника: 30° и 60°. Так как сумма всех углов треугольника равна 180°, то третий угол также равен 90°.

Таким образом, у нас получился равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором катеты равны между собой. Поэтому можем записать:

64√3 = a * a

64√3 = a^2

a = √(64√3)

a = √64 * √√3

a = 8√3

Таким образом, катет, прилежащий к углу в 60°, равен 8√3.