Площадь ромба равна 336 см2, а одна из диагоналей на 34 см больше другой. Найдите диагонали и периметр...

Чтобы найти диагонали и периметр ромба, начнем с известных данных:

1. Площадь ромба ( S = 336 ) см².
2. Одна диагональ на 34 см больше другой.

Обозначим диагонали ромба за ( d_1 ) и ( d_2 ). Согласно свойству ромба, его площадь может быть выражена через диагонали по формуле: [ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 ]

Подставим известное значение площади: [ 336 = \frac{1}{2} d_1 d_2 ] [ 672 = d_1 d_2 ]

Теперь введем переменные. Пусть ( d_1 = x ) и ( d_2 = x + 34 ). Подставим эти выражения в уравнение для площади: [ x (x + 34) = 672 ] [ x^2 + 34x - 672 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем его корни с использованием дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] где ( a = 1 ), ( b = 34 ), ( c = -672 ).

Вычислим дискриминант: [ D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-672) ] [ D = 1156 + 2688 ] [ D = 3844 ]

Теперь найдем корни уравнения: [ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x{1,2} = \frac{-34 \pm \sqrt{3844}}{2} ] [ x_{1,2} = \frac{-34 \pm 62}{2} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{28}{2} = 14 ] [ x_2 = \frac{-96}{2} = -48 ]

Так как длина диагонали не может быть отрицательной, принимаем ( x = 14 ).

Теперь найдём вторую диагональ: [ d_2 = x + 34 = 14 + 34 = 48 ]

Итак, диагонали ромба равны: [ d_1 = 14 ) см и ( d_2 = 48 ) см.

Теперь найдем сторону ромба. Используем свойства ромба: диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, образуя четыре прямоугольных треугольника. Половины диагоналей будут катетами этих треугольников: [ \frac{d_1}{2} = 7 ) см и (\frac{d_2}{2} = 24 ) см.

Найдём гипотенузу, которая является стороной ромба ( a ): [ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} ] [ a = \sqrt{7^2 + 24^2} ] [ a = \sqrt{49 + 576} ] [ a = \sqrt{625} ] [ a = 25 ) см.

Теперь найдем периметр ромба: [ P = 4a = 4 \times 25 = 100 ) см.

Таким образом, диагонали ромба равны 14 см и 48 см, а периметр — 100 см.

Пусть (d_1) и (d_2) - диагонали ромба, а (a) - его сторона. Так как диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника, то мы можем написать следующие соотношения:

[d_1 = 2a, \quad d_2 = 2a]

Также мы знаем, что площадь ромба равна:

[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = 336]

Отсюда получаем:

[d_1 \cdot d_2 = 672]

Также из условия задачи мы знаем, что одна диагональ на 34 см больше другой:

[d_1 = d_2 + 34]

Теперь можем решить систему уравнений:

[\begin{cases} d_1 \cdot d_2 = 672 \ d_1 = d_2 + 34 \end{cases}]

Подставляем значение (d_1) из второго уравнения в первое и получаем:

[(d_2 + 34) \cdot d_2 = 672]

[d_2^2 + 34d_2 - 672 = 0]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Мы найдем два корня: (d_2 = 16) и (d_2 = -42). Так как длина диагонали не может быть отрицательной, то (d_2 = 16) см, а (d_1 = 16 + 34 = 50) см.

Теперь можем найти сторону ромба:

[a = \frac{d_1}{2} = \frac{50}{2} = 25]

И периметр ромба:

[P = 4a = 4 \cdot 25 = 100]

Итак, длины диагоналей ромба равны 50 см и 16 см, а его периметр равен 100 см.

Пусть длина меньшей диагонали равна х, тогда длина большей диагонали будет х + 34. Площадь ромба равна S = (d1d2)/2, где d1 и d2 - диагонали ромба. Из условия S = 336 см2 и d1 = x, d2 = x + 34, получаем уравнение x(x+34) = 672. Решив уравнение, найдем x ≈ 22, диагонали ромба равны 22 см и 56 см. Периметр ромба равен P = 4*√(d1^2 + d2^2), подставляем найденные значения диагоналей и находим периметр.