Плоскость α задана уравнением 3х – 5у – z + 2 = 0. Найдите уравнение плоскости β, которая является прообразом плоскости α:
а) при параллельном переносе на вектор б) при симметрии относительно начала координат;
Плоскость α задана уравнением 3х – 5у – z + 2 = 0. Найдите уравнение плоскости β, которая является прообразом плоскости α:
а) при параллельном переносе на вектор б) при симметрии относительно начала координат;
а) Уравнение плоскости β при параллельном переносе на вектор будет таким же как у плоскости α.
б) Уравнение плоскости β при симметрии относительно начала координат будет -3х + 5у + z + 2 = 0.
а) При параллельном переносе плоскости α на вектор (a, b, c) уравнение плоскости β будет иметь вид: 3(х - a) - 5(y - b) - (z - c) + 2 = 0 3х - 5у - z + 3a - 5b + c + 2 = 0 Тогда уравнение плоскости β: 3х - 5у - z + (3a - 5b + c + 2) = 0
б) При симметрии плоскости α относительно начала координат, координаты точек (х, у, z) и (-х, -у, -z) будут равны. Таким образом, уравнение плоскости β будет иметь вид: 3(-х) - 5(-у) - (-z) + 2 = 0 -3х + 5у + z + 2 = 0 Тогда уравнение плоскости β: -3х + 5у + z + 2 = 0
Для того чтобы найти уравнение плоскости β, которая является прообразом плоскости α при различных трансформациях, рассмотрим каждый случай отдельно.
Пусть вектор переноса задан как (\vec{v} = (a, b, c)). Уравнение плоскости α задано как:
[ 3x - 5y - z + 2 = 0. ]
При параллельном переносе плоскости на вектор ((a, b, c)), уравнение плоскости изменится следующим образом. Для точки ((x, y, z)) на новой плоскости соответствующая точка на исходной плоскости будет иметь координаты ((x-a, y-b, z-c)). Подставим эти значения в уравнение плоскости α:
[ 3(x-a) - 5(y-b) - (z-c) + 2 = 0. ]
Раскроем скобки и упростим:
[ 3x - 3a - 5y + 5b - z + c + 2 = 0. ]
Объединим свободные члены:
[ 3x - 5y - z + (2 - 3a + 5b + c) = 0. ]
Таким образом, уравнение плоскости β после параллельного переноса на вектор (\vec{v} = (a, b, c)) будет:
[ 3x - 5y - z + (2 - 3a + 5b + c) = 0. ]
При симметрии относительно начала координат, каждая точка ((x, y, z)) на плоскости α переходит в точку ((-x, -y, -z)) на плоскости β. Подставим эти значения в уравнение плоскости α:
[ 3(-x) - 5(-y) - (-z) + 2 = 0. ]
Упростим выражение:
[ -3x + 5y + z + 2 = 0. ]
Таким образом, уравнение плоскости β после симметрии относительно начала координат будет:
[ -3x + 5y + z + 2 = 0. ]
Это уравнение описывает плоскость β, которая является зеркальным отображением плоскости α относительно начала координат.
