Помогите мне пожалуйста,она не сложная) В правильном тетраэдре PABC с ребром 2 основание ABC лежит в плоскости Oxy.Найдите координаты вершин В и Р,если А(-1;0;0).С(1;0;0).
Помогите мне пожалуйста,она не сложная) В правильном тетраэдре PABC с ребром 2 основание ABC лежит в плоскости Oxy.Найдите координаты вершин В и Р,если А(-1;0;0).С(1;0;0).
Давайте разберём задачу и решим её шаг за шагом.
Имеется правильный тетраэдр ( PABC ) с длиной ребра ( 2 ). Основание ( \triangle ABC ) лежит в плоскости ( Oxy ), а координаты двух вершин основания уже известны:
Правильный тетраэдр обладает следующими свойствами:
Так как основание ( \triangle ABC ) — равносторонний треугольник, длина всех его сторон равна ( 2 ). Вершины ( A(-1; 0; 0) ) и ( C(1; 0; 0) ) уже известны. Нам нужно найти координаты вершины ( B(x_B; y_B; 0) ).
Расстояния между вершинами: [ AB = BC = AC = 2. ] Для простоты обозначим координаты ( B = (x_B; y_B; 0) ).
Из условия, что расстояние ( AB = 2 ), получаем уравнение: [ \sqrt{(x_B - (-1))^2 + (y_B - 0)^2} = 2, ] [ \sqrt{(x_B + 1)^2 + y_B^2} = 2. ] Возводим в квадрат: [ (x_B + 1)^2 + y_B^2 = 4. \tag{1} ]
Аналогично, из условия ( BC = 2 ), получаем: [ \sqrt{(x_B - 1)^2 + (y_B - 0)^2} = 2, ] [ (x_B - 1)^2 + y_B^2 = 4. \tag{2} ]
Разложим скобки:
Из ((1):) [ x_B^2 + 2x_B + 1 + y_B^2 = 4, ] [ x_B^2 + y_B^2 + 2x_B = 3. \tag{3} ]
Из ((2):) [ x_B^2 - 2x_B + 1 + y_B^2 = 4, ] [ x_B^2 + y_B^2 - 2x_B = 3. \tag{4} ]
Вычтем ((4)) из ((3)): [ (x_B^2 + y_B^2 + 2x_B) - (x_B^2 + y_B^2 - 2x_B) = 3 - 3, ] [ 4x_B = 0, ] [ x_B = 0. ]
Подставим ( x_B = 0 ) в уравнение ((3)): [ 0^2 + y_B^2 + 2 \cdot 0 = 3, ] [ y_B^2 = 3, ] [ y_B = \pm \sqrt{3}. ]
Таким образом, вершина ( B ) имеет координаты: [ B(0; \pm\sqrt{3}; 0). ]
Вершина ( P ) лежит на высоте правильного тетраэдра, которая проходит через центр основания ( \triangle ABC ) и перпендикулярна плоскости основания.
Центр (центр масс) треугольника ( \triangle ABC ) находится по формуле: [ O = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right). ] Подставим координаты: [ A(-1; 0; 0), \quad B(0; \sqrt{3}; 0), \quad C(1; 0; 0), ] [ O = \left( \frac{-1 + 0 + 1}{3}; \frac{0 + \sqrt{3} + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 0}{3} \right), ] [ O = (0; \frac{\sqrt{3}}{3}; 0). ]
Таким образом, центр основания имеет координаты ( O(0; \frac{\sqrt{3}}{3}; 0) ).
Высота правильного тетраэдра ( h ) выражается через длину ребра ( a ) по формуле: [ h = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot a. ] Подставим ( a = 2 ): [ h = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 2 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}. ]
Вершина ( P ) лежит на высоте ( h ) от плоскости основания, то есть её координаты: [ P = \left( 0; \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{6}}{3} \right). ]
Координаты вершин:
Чтобы найти координаты вершин B и P правильного тетраэдра PABC, начнем с анализа заданных координат и геометрии тетраэдра.
Координаты точки A и C:
Ребро тетраэдра: В правильном тетраэдре все ребра равны. Длина ребра тетраэдра задана как 2. Это значит, что расстояние между любыми двумя вершинами должно быть равно 2.
Находим координаты вершины B: Поскольку основание ABC лежит в плоскости Oxy, координаты точки B будут иметь вид B(x_B; y_B; 0). Мы знаем, что расстояние AB равно 2, и расстояние AC также равно 2.
Расстояние AB: [ AB = \sqrt{(x_B + 1)^2 + (y_B - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 2 ] [ (x_B + 1)^2 + y_B^2 = 4 \quad (1) ]
Расстояние AC: [ AC = \sqrt{(x_B - 1)^2 + (y_B - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 2 ] [ (x_B - 1)^2 + y_B^2 = 4 \quad (2) ]
Теперь мы решим систему уравнений (1) и (2).
Из (1): [ (x_B + 1)^2 + y_B^2 = 4 ] Из (2): [ (x_B - 1)^2 + y_B^2 = 4 ]
Раскроем скобки: [ x_B^2 + 2x_B + 1 + y_B^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x_B^2 + y_B^2 + 2x_B - 3 = 0 \quad (3) ] [ x_B^2 - 2x_B + 1 + y_B^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x_B^2 + y_B^2 - 2x_B - 3 = 0 \quad (4) ]
Теперь вычтем уравнение (4) из уравнения (3): [ (2x_B - (-2x_B)) = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x_B = 0 \quad \Rightarrow \quad x_B = 0 ]
Подставляем (x_B = 0) в (1): [ (0 + 1)^2 + y_B^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad 1 + y_B^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad y_B^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad y_B = \sqrt{3} \text{ или } y_B = -\sqrt{3} ]
Таким образом, координаты точки B могут быть:
Находим координаты вершины P: Теперь найдем координаты вершины P. Она будет находиться над центром основания ABC, что означает, что её координата x равна 0 (так как A и C симметричны относительно оси Y), а координата y также будет равна 0 (так как B лежит на оси Y).
Чтобы найти координату z, используем тот факт, что расстояние от точки P до любой из точек A, B или C также должно быть равно 2.
Рассмотрим расстояние PA: [ PA = \sqrt{(0 + 1)^2 + (0 - 0)^2 + (z - 0)^2} = 2 ] [ \sqrt{1 + z^2} = 2 \quad \Rightarrow \quad 1 + z^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad z^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad z = \sqrt{3} \text{ или } z = -\sqrt{3} ]
Таким образом, координаты точки P могут быть:
Итог: Вершины B и P правильного тетраэдра PABC имеют следующие координаты:
Так как тетраэдр правильный, выбор знаков (положительные или отрицательные) для координат B и P будет зависеть от конкретного расположения в пространстве, но обе пары координат будут корректными в контексте задачи.
В правильном тетраэдре с вершинами A, B, C и P, если A(-1, 0, 0) и C(1, 0, 0), то координаты вершины B находятся на оси Y, так как ABC лежит в плоскости Oxy. Поскольку ребро тетраэдра равно 2, длина ребра AB и AC должна быть равна 2.
Координаты точки B будут (0, y, 0), где y можно найти из уравнения:
AB = 2: [ \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - y)^2 + (0 - 0)^2} = 2 \implies \sqrt{1 + y^2} = 2 \implies 1 + y^2 = 4 \implies y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3} \text{ или } -\sqrt{3}. ] Таким образом, координаты B могут быть (0, √3, 0) или (0, -√3, 0).
Для вершины P, которая находится над центром основания ABC, координаты P будут (0, y_P, z_P), где y_P = 0, и z_P можно найти, используя высоту правильного тетраэдра. Высота H для правильного тетраэдра со стороной a = 2 равна ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = \sqrt{2} ). Таким образом, координаты P будут (0, 0, √2).
Итак, координаты вершин B и P:
