Помогите пожалуйста, никак понять не могу. Вычислите скалярное произведение векторов m и n. если m=2a-b+c,...

Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы вычислить скалярное произведение векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ).

Итак, у нас есть: [ \mathbf{m} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}, \quad \mathbf{n} = \mathbf{a} - 2\mathbf{b}. ] Также даны:

• ( |\mathbf{a}| = 3 ) — модуль вектора ( \mathbf{a} ),
• ( |\mathbf{b}| = 2 ) — модуль вектора ( \mathbf{b} ),
• угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен ( 60^\circ ), то есть (\cos 60^\circ = \frac{1}{2}),
• ( \mathbf{c} \perp \mathbf{a} ) и ( \mathbf{c} \perp \mathbf{b} ), то есть ( \mathbf{c} ) ортогонален как ( \mathbf{a} ), так и ( \mathbf{b} ).

Шаг 1. Скалярное произведение двух векторов

Формула скалярного произведения двух векторов: [ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta, ] где ( \theta ) — угол между векторами. Если векторы ортогональны (( \theta = 90^\circ )), то их скалярное произведение равно ( 0 ).

Шаг 2. Выразим скалярное произведение ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} )

Распишем скалярное произведение ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} ), подставляя выражения для ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ): [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}). ] Раскроем скобки: [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + 2\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} - 2\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}. ]

Теперь упростим выражение, используя свойства скалярного произведения:

1. ( \mathbf{c} \perp \mathbf{a} ) и ( \mathbf{c} \perp \mathbf{b} ), следовательно, ( \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = 0 ) и ( \mathbf{c} \cdot \mathbf{b} = 0 ).
2. Скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0 ), так как ( \mathbf{c} \perp \mathbf{a} ).
3. Остается: [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + 2\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}. ]

Шаг 3. Найдем каждое из скалярных произведений

1. ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 = 3^2 = 9 ).
2. ( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = 2^2 = 4 ).
3. ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^\circ = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 ).

Обратите внимание, что ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ), так как скалярное произведение коммутативно.

Шаг 4. Подставим значения

Теперь подставим все найденные значения в выражение для ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} ): [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 2(9) - 4(3) - 3 + 2(4). ] Посчитаем: [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 18 - 12 - 3 + 8 = 11. ]

Ответ:

Скалярное произведение векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) равно ( 11 ).

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов ( m ) и ( n ), сначала выразим их через векторы ( a ), ( b ) и ( c ):

1. Вектор ( m = 2a - b + c )
2. Вектор ( n = a - 2b )

Теперь воспользуемся свойствами скалярного произведения:

[ m \cdot n = (2a - b + c) \cdot (a - 2b) ]

Раскроем скалярное произведение:

[ m \cdot n = (2a) \cdot (a) + (2a) \cdot (-2b) + (-b) \cdot (a) + (-b) \cdot (-2b) + c \cdot (a) + c \cdot (-2b) ]

Теперь упростим каждое из слагаемых:

1. ( (2a) \cdot (a) = 2(a \cdot a) = 2 |a|^2 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 )
2. ( (2a) \cdot (-2b) = -4(a \cdot b) )
3. ( (-b) \cdot (a) = -(b \cdot a) = -(a \cdot b) )
4. ( (-b) \cdot (-2b) = 2(b \cdot b) = 2 |b|^2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8 )
5. ( c \cdot a = 0 ) (так как ( c ) перпендикулярен ( a ))
6. ( c \cdot (-2b) = 0 ) (так как ( c ) перпендикулярен ( b ))

Теперь подставим известные значения:

[ m \cdot n = 18 - 4(a \cdot b) - (a \cdot b) + 8 ]

Объединим все слагаемые:

[ m \cdot n = 26 - 5(a \cdot b) ]

Теперь найдем ( a \cdot b ). Используем формулу для скалярного произведения:

[ a \cdot b = |a| |b| \cos(\theta) ]

где ( \theta = 60^\circ ), ( |a| = 3 ), ( |b| = 2 ).

Подставим значения:

[ a \cdot b = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 ]

Теперь подставим ( a \cdot b ) обратно в выражение для ( m \cdot n ):

[ m \cdot n = 26 - 5 \cdot 3 = 26 - 15 = 11 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов ( m ) и ( n ) равно ( 11 ).

Для вычисления скалярного произведения векторов ( m ) и ( n ), сначала найдём их компоненты:

1. Вектор ( m = 2a - b + c ).
2. Вектор ( n = a - 2b ).

Теперь вычислим скалярное произведение ( m \cdot n ):

[ m \cdot n = (2a - b + c) \cdot (a - 2b) ]

Раскроем скалярное произведение:

[ m \cdot n = 2a \cdot a - 4a \cdot b - b \cdot a + 2b \cdot b + c \cdot a - 2c \cdot b ]

Теперь подставим известные значения:

• ( |a| = 3 ) ⇒ ( a \cdot a = |a|^2 = 9 )
• ( |b| = 2 ) ⇒ ( b \cdot b = |b|^2 = 4 )
• Угол между ( a ) и ( b ) равен ( 60^\circ ) ⇒ ( a \cdot b = |a| |b| \cos(60^\circ) = 3 \cdot 2 \cdot 0.5 = 3 )

Так как векторы ( c ) перпендикулярны к ( a ) и ( b ), то:

• ( c \cdot a = 0 )
• ( c \cdot b = 0 )

Теперь подставим все значения в выражение для скалярного произведения:

[ m \cdot n = 2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 3 + 2 \cdot 4 + 0 - 0 ] [ m \cdot n = 18 - 12 - 3 + 8 ] [ m \cdot n = 18 - 12 - 3 + 8 = 11 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов ( m ) и ( n ) равно ( 11 ).