Помогите пожалуйста решить 2 маленькие задачки. Найдите скалярное произведение векторов m=-2a+5b и n=3a+b...

1) Для нахождения скалярного произведения векторов m и n, необходимо умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения. m = -2a + 5b = -2{0;1;-2} + 5{1;3;1} = {0; -2; 4} + {5; 15; 5} = {5; 13; 9} n = 3a + b = 3{0;1;-2} + {1;3;1} = {0; 3; -6} + {1; 3; 1} = {1; 6; -5} Теперь находим скалярное произведение: mn = 5 1 + 13 6 + 9 * -5 = 5 + 78 - 45 = 38

2) Для нахождения длины вектора n = 2a + 3b необходимо найти корень из суммы квадратов его координат. n = 2a + 3b = 2i - 2j + 4k + 6i + 6j = 8i + 4k Длина вектора n = sqrt(8^2 + 0^2 + 4^2) = sqrt(64 + 16) = sqrt(80) = 4sqrt(5)

Давайте подробно разберем каждую из задач.

Задача 1:

Нам даны векторы ( m = -2\mathbf{a} + 5\mathbf{b} ) и ( n = 3\mathbf{a} + \mathbf{b} ), где (\mathbf{a} = {0, 1, -2}) и (\mathbf{b} = {1, 3, 1}). Нам нужно найти их скалярное произведение.

Скалярное произведение векторов ( m ) и ( n ) вычисляется по формуле:

[ m \cdot n = (-2\mathbf{a} + 5\mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

Раскроем скобки и применим дистрибутивное свойство скалярного произведения:

[ m \cdot n = (-2\mathbf{a}) \cdot (3\mathbf{a}) + (-2\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} + 5\mathbf{b} \cdot (3\mathbf{a}) + 5\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} ]

Теперь подсчитаем каждое из слагаемых:

1. ((-2\mathbf{a}) \cdot (3\mathbf{a}) = -6 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a})).
2. ((-2\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = -2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})).
3. (5\mathbf{b} \cdot (3\mathbf{a}) = 15 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a})).
4. (5\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 5 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b})).

Теперь найдем скалярные произведения (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}), (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}), и (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}):

• (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 0^2 + 1^2 + (-2)^2 = 0 + 1 + 4 = 5).
• (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = 0 + 3 - 2 = 1).
• (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 3^2 + 1^2 = 1 + 9 + 1 = 11).

Теперь подставим эти значения в формулу:

[ m \cdot n = -6 \times 5 - 2 \times 1 + 15 \times 1 + 5 \times 11 ]

[ m \cdot n = -30 - 2 + 15 + 55 = 38 ]

Задача 2:

Нам нужно найти длину вектора ( n = 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} ), где (\mathbf{a} = \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) и (\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j}).

Сначала найдем выражение для вектора ( n ):

[ n = 2( \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} ) + 3( 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} ) ]

[ n = (2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) + (6\mathbf{i} + 6\mathbf{j}) ]

[ n = (2 + 6)\mathbf{i} + (-2 + 6)\mathbf{j} + 4\mathbf{k} ]

[ n = 8\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} ]

Теперь найдем длину вектора ( n ):

[ |n| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 4^2} ]

[ |n| = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} ]

[ |n| = \sqrt{16 \times 6} = 4 \sqrt{6} ]

Таким образом, длина вектора ( n ) равна ( 4\sqrt{6} ).

1) Скалярное произведение векторов m и n равно -23 + 51 = -6 + 5 = -1. 2) Длина вектора n равна корню из суммы квадратов его координат: √((2^2) + (3^2)) = √(4 + 9) = √13.