Чтобы упростить выражение с векторами, нужно применить некоторые основные свойства векторной алгебры, такие как коммутативность и ассоциативность сложения векторов, а также применение правил сложения противоположных векторов.
а) ((\mathbf{AB} + \mathbf{BC}) + \mathbf{CD})
Векторное сложение является ассоциативным, так что скобки можно опустить:
[
\mathbf{AB} + \mathbf{BC} + \mathbf{CD}
]
Если точки B, C и D находятся на одной прямой или являются последовательными, то можно упростить выражение, используя правило сложения векторов через промежуточные точки. Если (\mathbf{AB} + \mathbf{BC} = \mathbf{AC}), то:
[
\mathbf{AC} + \mathbf{CD} = \mathbf{AD}
]
б) ((\mathbf{BD} + \mathbf{AC} + \mathbf{CB}) + (\mathbf{DK} + \mathbf{KM}))
Опять же, используем ассоциативность сложения векторов:
[
\mathbf{BD} + \mathbf{AC} + \mathbf{CB} + \mathbf{DK} + \mathbf{KM}
]
Вектор (\mathbf{CB}) является противоположным вектору (\mathbf{BC}), поэтому (\mathbf{CB} = -\mathbf{BC}). Если рассматривать векторное выражение (\mathbf{AC} + \mathbf{CB}), то это можно упростить до (\mathbf{AB}) или (\mathbf{0}) в зависимости от расположения точек.
Если (\mathbf{AC} + \mathbf{CB} = \mathbf{AB}), то:
[
\mathbf{BD} + \mathbf{AB} + \mathbf{DK} + \mathbf{KM}
]
В зависимости от взаимного расположения точек B, D, K и M, можно найти более простое выражение. Например, если (\mathbf{BD} + \mathbf{DK} = \mathbf{BK}), то:
[
\mathbf{BK} + \mathbf{KM} + \mathbf{AB}
]
Если (\mathbf{BK} + \mathbf{KM} = \mathbf{BM}), то окончательно:
[
\mathbf{BM} + \mathbf{AB}
]
Упрощение векторных выражений зависит от геометрического расположения точек. Для конкретных задач важно знать, как расположены точки относительно друг друга.