Построить 2 треугольника,с коэффициентом k=2 ,k=1/3

Для построения двух треугольников с коэффициентами ( k = 2 ) и ( k = \frac{1}{3} ), важно понимать, что коэффициент ( k ) говорит о том, во сколько раз стороны одного треугольника больше (или меньше) сторон другого. Такой коэффициент применяется, когда треугольники подобны — то есть их углы равны, а стороны пропорциональны.

Давайте разберем процесс построения пошагово:

1. Что такое коэффициент ( k )?

Коэффициент ( k ) в подобии треугольников описывает, во сколько раз стороны одного треугольника увеличиваются или уменьшаются относительно другого. Если ( k = 2 ), то стороны второго треугольника в 2 раза больше сторон первого. Если ( k = \frac{1}{3} ), то стороны второго треугольника в 3 раза меньше сторон первого.

2. Построение треугольника с ( k = 2 ):

Пусть у нас есть исходный треугольник ( \triangle ABC ). Для примера, возьмем следующие произвольные размеры:

• ( AB = 4 ),
• ( BC = 5 ),
• ( AC = 6 ).

Теперь строим треугольник ( \triangle A'B'C' ), стороны которого в 2 раза больше:

• ( A'B' = 2 \cdot AB = 8 ),
• ( B'C' = 2 \cdot BC = 10 ),
• ( A'C' = 2 \cdot AC = 12 ).

Порядок построения:

1. Нарисуйте отрезок ( A'B' = 8 ).
2. Из точек ( A' ) и ( B' ) проведите дуги окружностей: одну радиуса 12 (для стороны ( A'C' )), другую радиуса 10 (для стороны ( B'C' )).
3. Точка пересечения этих дуг — это вершина ( C' ).
4. Соедините ( A' ), ( B' ) и ( C' ), чтобы получить увеличенный треугольник.

Этот треугольник будет подобен исходному ( \triangle ABC ), но его стороны больше в 2 раза.

3. Построение треугольника с ( k = \frac{1}{3} ):

Для уменьшения исходного треугольника ( \triangle ABC ) в 3 раза, стороны нового треугольника будут:

• ( A''B'' = \frac{1}{3} \cdot AB = \frac{4}{3} ),
• ( B''C'' = \frac{1}{3} \cdot BC = \frac{5}{3} ),
• ( A''C'' = \frac{1}{3} \cdot AC = \frac{6}{3} = 2 ).

Порядок построения:

1. Нарисуйте отрезок ( A''B'' = \frac{4}{3} ) (он будет короче исходного ( AB )).
2. Из точек ( A'' ) и ( B'' ) проведите дуги окружностей: одну радиуса 2 (для стороны ( A''C'' )), другую радиуса ( \frac{5}{3} ) (для стороны ( B''C'' )).
3. Точка пересечения этих дуг — это вершина ( C'' ).
4. Соедините ( A'' ), ( B'' ) и ( C'' ), чтобы получить уменьшенный треугольник.

Этот треугольник будет подобен исходному ( \triangle ABC ), но его стороны меньше в 3 раза.

4. Проверка подобия:

Чтобы проверить, что треугольники действительно подобны, нужно убедиться, что их углы равны. Так как мы строили треугольники пропорционально исходному, углы в построенных треугольниках автоматически совпадают с углами исходного треугольника ( \triangle ABC ).

Дополнительно можно проверить пропорции сторон:

• Для треугольника с ( k = 2 ): ( \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = 2 ).
• Для треугольника с ( k = \frac{1}{3} ): ( \frac{A''B''}{AB} = \frac{B''C''}{BC} = \frac{A''C''}{AC} = \frac{1}{3} ).

Итог:

Мы построили два треугольника:

1. Треугольник, стороны которого в 2 раза больше (( k = 2 )) исходного.
2. Треугольник, стороны которого в 3 раза меньше (( k = \frac{1}{3} )) исходного.

Оба треугольника подобны исходному ( \triangle ABC ), так как их углы равны, а стороны пропорциональны.

Для построения треугольников с заданными коэффициентами масштабирования ( k = 2 ) и ( k = \frac{1}{3} ), давайте начнем с того, что у нас есть один исходный треугольник. Обозначим его вершины как ( A ), ( B ) и ( C ).

Шаг 1: Исходный треугольник

Предположим, что у нашего треугольника ( ABC ) следующие координаты вершин:

• ( A (0, 0) )
• ( B (4, 0) )
• ( C (2, 3) )

Шаг 2: Построение треугольника с коэффициентом ( k = 2 )

Коэффициент масштабирования ( k = 2 ) означает, что мы будем увеличивать размеры треугольника в 2 раза. Для этого мы умножим координаты каждой вершины на 2:

• Новая вершина ( A' ): [ A' (0 \cdot 2, 0 \cdot 2) = (0, 0) ]

• Новая вершина ( B' ): [ B' (4 \cdot 2, 0 \cdot 2) = (8, 0) ]

• Новая вершина ( C' ): [ C' (2 \cdot 2, 3 \cdot 2) = (4, 6) ]

Таким образом, у нас получился треугольник ( A'B'C' ) с вершинами ( A' (0, 0) ), ( B' (8, 0) ) и ( C' (4, 6) ).

Шаг 3: Построение треугольника с коэффициентом ( k = \frac{1}{3} )

Теперь построим треугольник с коэффициентом масштабирования ( k = \frac{1}{3} ). В этом случае мы будем уменьшать размеры треугольника до одной трети от его исходного размера. Для этого мы умножим координаты каждой вершины на ( \frac{1}{3} ):

• Новая вершина ( A'' ): [ A'' (0 \cdot \frac{1}{3}, 0 \cdot \frac{1}{3}) = (0, 0) ]

• Новая вершина ( B'' ): [ B'' (4 \cdot \frac{1}{3}, 0 \cdot \frac{1}{3}) = \left(\frac{4}{3}, 0\right) ]

• Новая вершина ( C'' ): [ C'' (2 \cdot \frac{1}{3}, 3 \cdot \frac{1}{3}) = \left(\frac{2}{3}, 1\right) ]

Таким образом, у нас получился треугольник ( A''B''C'' ) с вершинами ( A'' (0, 0) ), ( B'' \left(\frac{4}{3}, 0\right) ) и ( C'' \left(\frac{2}{3}, 1\right) ).

Итог

Мы построили два треугольника:

1. Треугольник ( A'B'C' ) с коэффициентом масштабирования ( k = 2 ) и вершинами ( (0, 0) ), ( (8, 0) ), ( (4, 6) ).
2. Треугольник ( A''B''C'' ) с коэффициентом масштабирования ( k = \frac{1}{3} ) и вершинами ( (0, 0) ), ( \left(\frac{4}{3}, 0\right) ), ( \left(\frac{2}{3}, 1\right) ).

Это наглядно демонстрирует, как масштабирование влияет на размеры треугольников, сохраняя их форму.