Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину D и середины рёбер AA1 и A1B1. Определите...

Для построения сечения куба проходящего через вершину D и середины рёбер AA1 и A1B1, нужно провести плоскость, проходящую через эти точки. После этого получим многоугольник, который будет пересечением этой плоскости с гранями куба.

В данном случае, сечение будет представлять собой пятиугольник, так как в результате пересечения получится плоскость, включающая в себя пять вершин: D, середины рёбер AA1 и A1B1, а также точки пересечения этой плоскости с рёбрами AD и DD1.

Итак, вид многоугольника, полученного в сечении куба ABCDA1B1C1D1, будет пятиугольник.

Чтобы построить сечение куба ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), проходящее через вершину ( D ) и середины рёбер ( AA_1 ) и ( A_1B_1 ), необходимо следовать ряду шагов. Определим сначала координаты всех точек и середины рёбер, чтобы потом определить вид сечения.

1. Определение координат вершин куба: Пусть куб имеет сторону длиной ( a ) и расположен в пространстве с координатами вершин:

   • ( A (0, 0, 0) )
   • ( B (a, 0, 0) )
   • ( C (a, a, 0) )
   • ( D (0, a, 0) )
   • ( A_1 (0, 0, a) )
   • ( B_1 (a, 0, a) )
   • ( C_1 (a, a, a) )
   • ( D_1 (0, a, a) )

2. Определение середины рёбер:

   • Середина ребра ( AA_1 ) это точка ( M ) с координатами: ( M (0, 0, \frac{a}{2}) )
   • Середина ребра ( A_1B_1 ) это точка ( N ) с координатами: ( N (\frac{a}{2}, 0, a) )

3. Определение плоскости сечения: Плоскость проходит через точки ( D ), ( M ) и ( N ). Чтобы найти уравнение этой плоскости, используем координаты этих точек.

   Запишем уравнение плоскости в общем виде: ( Ax + By + Cz + D = 0 ).

   Подставим координаты точек ( D ), ( M ) и ( N ):

   • Для точки ( D (0, a, 0) ): ( B \cdot a + D = 0 ) (\Rightarrow D = -Ba)
   • Для точки ( M (0, 0, \frac{a}{2}) ): ( C \cdot \frac{a}{2} - Ba = 0 ) (\Rightarrow C = 2B)
   • Для точки ( N (\frac{a}{2}, 0, a) ): ( A \cdot \frac{a}{2} + C \cdot a - Ba = 0 )

   Подставим ( C = 2B ) и ( D = -Ba ) в уравнение ( N ): [ A \cdot \frac{a}{2} + 2B \cdot a - Ba = 0 \Rightarrow A \cdot \frac{a}{2} + Ba = 0 \Rightarrow A = -2B ]

   Плоскость имеет уравнение ( -2Bx + By + 2Bz - Ba = 0 \Rightarrow -2x + y + 2z - a = 0 ).

4. Определение точек пересечения плоскости с рёбрами куба:

   • Найдём пересечение с ребром ( AD ): ( x = 0, y = t, z = 0 ) Подставим в уравнение плоскости: [ y - a = 0 \Rightarrow y = a ] Точка пересечения ( D (0, a, 0) ).

   • Найдём пересечение с ребром ( AB ): ( x = t, y = 0, z = 0 ) Подставим в уравнение плоскости: [ -2t = a \Rightarrow t = -\frac{a}{2} ] Значит, пересечения нет.

   • Найдём пересечение с ребром ( A_1D_1 ): ( x = 0, y = t, z = a ) Подставим в уравнение плоскости: [ y + 2a - a = 0 \Rightarrow y = -a ] Значит, пересечения нет.

   • Найдём пересечение с ребром ( A_1B_1 ): Уже найдена точка ( N (\frac{a}{2}, 0, a) ).

   • Найдём пересечение с ребром ( B_1C_1 ): ( x = t, y = 0, z = a ) Подставим в уравнение плоскости: [ -2t + 2a - a = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{2} ] Точка пересечения ( P (\frac{a}{2}, 0, a) ).

   • Найдём пересечение с ребром ( D_1C_1 ): ( x = 0, y = t, z = a ) Подставим в уравнение плоскости: [ y + 2a - a = 0 \Rightarrow y = -a ] Значит, пересечения нет.

   • Найдём пересечение с ребром ( C_1D_1 ): ( x = 0, y = a, z = t ) Подставим в уравнение плоскости: [ a + 2t - a = 0 \Rightarrow 2t = 0 \Rightarrow t = 0 ] Точка пересечения ( D_1 (0, a, a) ).

   • Найдём пересечение с ребром ( CD ): ( x = 0, y = a, z = t ) Подставим в уравнение плоскости: [ a + 2t - a = 0 \Rightarrow 2t = 0 \Rightarrow t = 0 ] Точка пересечения ( D (0, a, 0) ).

Итак, сечение куба плоскостью, проходящей через вершину ( D ) и середины рёбер ( AA_1 ) и ( A_1B_1 ), является треугольником с вершинами ( D (0, a, 0) ), ( M (0, 0, \frac{a}{2}) ) и ( N (\frac{a}{2}, 0, a) ).

Таким образом, многоугольник, полученный в сечении куба, является треугольником.

Сечение будет треугольником.