прямая b лежит в плоскости альфа, прямая a не лежит в плоскости альфа и параллельна прямой b. через точку M, лежащей в плоскости (M не принадлежит b) , проведена прямая c, параллельная a. Докажите, что c лежит в плоскости альфа
прямая b лежит в плоскости альфа, прямая a не лежит в плоскости альфа и параллельна прямой b. через точку M, лежащей в плоскости (M не принадлежит b) , проведена прямая c, параллельная a. Докажите, что c лежит в плоскости альфа
Для доказательства того, что прямая ( c ) лежит в плоскости ( \alpha ), давайте рассмотрим заданные условия и используем некоторые свойства параллельных прямых и плоскостей.
Дано:
Требуется доказать, что прямая ( c ) лежит в плоскости ( \alpha ).
Доказательство:
Поскольку прямая ( a ) параллельна прямой ( b ), и ( b ) лежит в плоскости ( \alpha ), то прямая ( a ) параллельна плоскости ( \alpha ). Это следует из свойства, что если одна прямая параллельна другой, которая лежит в плоскости, то первая прямая либо лежит в этой плоскости, либо параллельна ей.
Поскольку прямая ( c ) параллельна прямой ( a ) и проходит через точку ( M ), лежащую в плоскости ( \alpha ), то прямая ( c ) также параллельна плоскости ( \alpha ) (по определению параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна другой прямой, параллельной плоскости, и проходит через точку этой плоскости, то она тоже параллельна плоскости).
Однако, поскольку прямая ( c ) проходит через точку ( M ), которая лежит в плоскости ( \alpha ), и параллельна прямой ( a ), которая в свою очередь параллельна плоскости ( \alpha ), то из этого следует, что прямая ( c ) не может быть параллельна плоскости ( \alpha ) без пересечения её. Единственная возможность, при которой прямая ( c ) может быть параллельна плоскости и проходить через её точку, — это если она полностью лежит в этой плоскости.
Таким образом, прямая ( c ) полностью лежит в плоскости ( \alpha ). Это завершает наше доказательство.
Так как прямая a параллельна прямой b и не лежит в плоскости альфа, то она пересекает плоскость альфа в точке M. Поскольку прямая c параллельна прямой a и проходит через точку M, то она также будет лежать в плоскости альфа.
Для доказательства того, что прямая c лежит в плоскости альфа, рассмотрим следующие утверждения:
Из этих утверждений следует, что прямая c лежит в плоскости альфа, так как она проходит через точку M, которая лежит в данной плоскости, и параллельна прямой a, которая не лежит в этой плоскости. Таким образом, мы доказали, что прямая c лежит в плоскости альфа.
