Прямая МК разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек М и К в разные полуплоскости проведены...

Решение:

а) Неверно. Треугольники АМВ и АКВ не могут быть равными, так как стороны МА и КВ равны, но углы АМК и ВКМ различны.

б) Верно. Углы АКМ и ВМК являются вертикальными углами и, следовательно, равны.

в) Верно. Треугольники МКА и КМВ равны по стороне МК, общей стороне КМ и равным углам АМК и ВКМ.

г) Неверно. Угол АМВ не равен углу КМВ, так как углы АМК и ВКМ не равны.

Итак, верными высказываниями являются: б) угол АКМ = ВМК и в) треугольник МКА = КМВ.

Для решения задачи рассмотрим свойства равенства треугольников и свойства углов, а также отношения между элементами фигур.

а) Треугольник АМВ = АКВ. Это утверждение неверно. Треугольники АМВ и АКВ не равны, так как они расположены по разные стороны от прямой МК и не имеют общих сторон, кроме возможно стороны АВ. Недостаточно данных о равенстве стороны АВ и других соответствующих углов, чтобы утверждать равенство этих треугольников.

б) Угол АКМ = ВМК. Это утверждение верно. Учитывая, что отрезки МА и КВ равны и углы АМК и ВКМ равны, треугольники МАК и КВМ являются равнобедренными с основаниями МК. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны. Следовательно, угол МАК равен углу МВК, а угол АКМ равен углу ВМК.

в) Треугольник МКА = КМВ. Это утверждение верно. Треугольники МКА и КМВ равны по двум сторонам (МК общая, МА = КВ) и углу между этими сторонами, который разделён прямой МК (угол АМК = угол ВКМ). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треугольники равны.

г) Угол АМВ = КМВ. Это утверждение неверно. Несмотря на то что треугольники МКА и КМВ равны, углы АМВ и КМВ не являются соответствующими углами этих треугольников и их равенство не следует из равенства треугольников. Углы АМВ и КМВ зависят от дополнительных соотношений и элементов, о которых в условии задачи нет информации.

Итак, верные утверждения - б) и в).