Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого в 8 раз...

Пусть основание треугольника равно а, а высота h, а отрезок, который отсекает меньший треугольник от большего, равен b. Тогда площади большего и меньшего треугольников будут равны:

S1 = (1/2)ah - (1/2)bh = (1/2)h(a-b)

S2 = (1/2)bh

Так как площадь меньшего треугольника в 8 раз меньше площади большего, то:

S2 = 8*S1

(1/2)bh = 8(1/2)h*(a-b)

b = 8*(a-b)

b = 8a - 8b

9b = 8a

b = (8/9)*a

Так как прямая параллельна основанию, то отношение сторон меньшего и большего треугольников равно отношению высот треугольников:

(a-b)/b = h/(h-b)

(a-(8/9)a)/(8/9)a = h/(h-(8/9)*a)

(1/9)a/(8/9)a = h/(h-(8/9)*a)

1/8 = h/(h-(8/9)*a)

1/8 = h/(h-8a/9)

9h = 8h - 8a

h = 8a

Таким образом, высота треугольника равна 8, а основание равно 27 - 8 = 19. Периметр меньшего треугольника равен:

P2 = 19 + 8 + (8/9)*19 = 19 + 8 + 152/9 = 27 + 152/9 = 27 + 16.88 ≈ 43.88

Ответ: периметр меньшего треугольника равен примерно 43.88 см.

Рассмотрим треугольник ( ABC ) с основанием ( BC ). Пусть прямая, параллельная основанию ( BC ), отсекает от треугольника ( ABC ) меньший треугольник ( A'B'C' ), такой что площадь ( A'B'C' ) в 8 раз меньше площади оставшейся части треугольника. То есть, если площадь оставшейся части обозначим через ( S_1 ), то площадь меньшего треугольника будет ( \frac{S_1}{8} ).

Пусть площадь всего треугольника ( ABC ) равна ( S ). Тогда

[ S = S_1 + \frac{S_1}{8} = \frac{9S_1}{8}. ]

Следовательно, ( S_1 = \frac{8S}{9} ), а площадь меньшего треугольника ( A'B'C' ) равна ( \frac{S}{9} ).

Поскольку прямая, параллельная основанию, отсекает треугольник, то высота меньшего треугольника будет пропорциональна высоте большего треугольника. Пусть высота большого треугольника равна ( h ), а высота меньшего треугольника — ( h' ).

Отношение площадей треугольников ( \frac{S}{S_1} = \frac{9}{8} ) равно квадрату отношения соответствующих высот, так как основания параллельны:

[ \left( \frac{h'}{h} \right)^2 = \frac{1}{9}. ]

Отсюда следует, что

[ \frac{h'}{h} = \frac{1}{3}. ]

Таким образом, все линейные размеры меньшего треугольника ( A'B'C' ) в 3 раза меньше соответствующих размеров большего треугольника ( ABC ).

Периметр треугольника ( ABC ) равен 27 см. Следовательно, периметр треугольника ( A'B'C' ) будет в 3 раза меньше:

[ \text{Периметр } A'B'C' = \frac{27}{3} = 9 \text{ см}. ]

Таким образом, периметр меньшего треугольника составляет 9 см.

Периметр меньшего треугольника равен 9 см.