Прямоугольная трапеция с основаниями 2 и 5 см и меньшей боковой стороной 4 см вращается вокруг большего...

Чтобы найти полную поверхность тела вращения, образованного вращением прямоугольной трапеции вокруг большего основания, мы должны понять, что это тело будет состоять из усеченного конуса и цилиндра. Давайте разберемся, как вычислить площадь поверхности такого тела.

Шаги для решения задачи:

1. Определение параметров трапеции:

   • Прямоугольная трапеция имеет основания ( a = 5 ) см (большее основание) и ( b = 2 ) см (меньшее основание).
   • Меньшая боковая сторона (высота трапеции) ( h = 4 ) см.

2. Вычисление радиусов:

   • При вращении вокруг большего основания, радиус образующего цилиндра будет равен длине меньшего основания трапеции: ( R_1 = 2 ) см.
   • Радиус верхней окружности (высота трапеции станет радиусом) будет равен разнице оснований: ( R_2 = 5 - 2 = 3 ) см.

3. Высота усеченного конуса:

   • Высота усеченного конуса равна высоте трапеции: ( h = 4 ) см.

4. Площадь боковой поверхности усеченного конуса: Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: [ S_{\text{усеч}} = \pi (R_1 + R_2) l, ] где ( l ) — образующая усеченного конуса, которую можно найти по теореме Пифагора: [ l = \sqrt{h^2 + (R_2 - R1)^2} = \sqrt{4^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}. ] Таким образом, площадь боковой поверхности: [ S{\text{усеч}} = \pi (2 + 3) \sqrt{17} = 5\pi \sqrt{17}. ]

5. Площадь боковой поверхности цилиндра: Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается как: [ S_{\text{цилиндра}} = 2\pi R_1 h = 2\pi \times 2 \times 4 = 16\pi. ]

6. Площадь двух оснований:

   • Основание цилиндра (нижнее основание): ( \pi R_1^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi ).
   • Верхнее основание (верх окружности усеченного конуса): ( \pi R_2^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi ).

7. Полная поверхность тела вращения: [ S{\text{полная}} = S{\text{усеч}} + S{\text{цилиндра}} + S{\text{нижн.осн.}} + S{\text{верхн.осн.}} = 5\pi \sqrt{17} + 16\pi + 4\pi + 9\pi. ] [ S{\text{полная}} = 5\pi \sqrt{17} + 29\pi. ]

Таким образом, полная поверхность тела вращения равна ( 5\pi \sqrt{17} + 29\pi ).

Для нахождения полной поверхности тела вращения прямоугольной трапеции сначала необходимо найти боковую поверхность тела вращения, которая представляет собой боковую поверхность цилиндра.

Высота цилиндра равна меньшей стороне трапеции, то есть 4 см. По формуле для площади боковой поверхности цилиндра S = 2πrh, где r - радиус цилиндра (половина суммы оснований трапеции), h - высота цилиндра, находим площадь боковой поверхности цилиндра: S = 2π ( (2+5)/2 ) 4 = 56π см².

Теперь найдем площадь оснований трапеции: S1 = 2 см 4 см = 8 см², S2 = 5 см 4 см = 20 см².

Полная поверхность тела вращения равна сумме площадей боковой поверхности цилиндра и площадей оснований трапеции: S = 56π + 8 + 20 = 56π + 28 см².

Итак, полная поверхность тела вращения прямоугольной трапеции равна 56π + 28 см².