Прямоугольник ABCD с диагональю АС 12 см стороной AD 10 и углом В 60 градусов. найти площадь ABCD

Для нахождения площади прямоугольника ABCD разберем задачу детально:

Дано:

• Прямоугольник (ABCD) с диагональю (AC = 12 \, \text{см}),
• сторона (AD = 10 \, \text{см}),
• (\angle B = 60^\circ).

Прямоугольник обладает следующими свойствами:

1. Углы прямоугольника равны (90^\circ), а противоположные стороны равны.
2. Диагонали равны и пересекаются в точке, делящей их пополам.

Решение:

1. Обозначим стороны прямоугольника:

   • (AD = BC = 10 \, \text{см}) — это одна из сторон прямоугольника.
   • Пусть другая сторона прямоугольника будет (AB = CD = x).

2. Используем теорему Пифагора для диагонали (AC): Так как диагональ (AC) соединяет вершины (A) и (C), то она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами (AD) и (AB). Теорема Пифагора в данном случае: [ AC^2 = AD^2 + AB^2 ] Подставляем значения: [ 12^2 = 10^2 + x^2 ] [ 144 = 100 + x^2 ] [ x^2 = 44 ] [ x = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \, \text{см}. ]

3. Вычисляем площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: [ S = AB \cdot AD ] Подставляем значения (AB = 2\sqrt{11}) и (AD = 10): [ S = 2\sqrt{11} \cdot 10 = 20\sqrt{11} \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь прямоугольника (ABCD) равна (20\sqrt{11} \, \text{см}^2).

Замечание:

Данный угол (B = 60^\circ) в условии задачи не влияет на решение, так как прямоугольник имеет фиксированные углы (90^\circ). Возможно, это указание лишнее либо относится к другому типу задачи.

Для нахождения площади прямоугольника ABCD, который с диагональю AC и известными параметрами, можно воспользоваться свойствами прямоугольника и треугольников, которые в нем образуются.

1. Определение размеров и свойств: Прямоугольник ABCD имеет:

   • сторону AD = 10 см,
   • угол B = 60°,
   • диагональ AC = 12 см.

2. Использование свойств треугольника: В прямоугольнике ABCD, угол B равен 60°. Следовательно, угол D также равен 60°, так как противоположные углы в прямоугольнике равны. Угол A и угол C будут равны 30°.

3. Нахождение стороны AB: Мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике ABC, чтобы найти сторону AB: [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B) ] Однако проще будет использовать соотношения в прямоугольном треугольнике. Известно, что: [ AB = AD \cdot \tan(B) ] Подставим известные значения: [ AB = 10 \cdot \tan(60°) = 10 \cdot \sqrt{3} \approx 17.32 \, \text{см} ]

4. Нахождение стороны BC: Поскольку ABCD — прямоугольник, то стороны AB и BC образуют прямой угол. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения стороны BC: [ AC^2 = AB^2 + AD^2 ] Подставим известные значения: [ 12^2 = (10 \cdot \sqrt{3})^2 + BC^2 ] [ 144 = 300 + BC^2 ] [ BC^2 = 144 - 300 = -156 ] В данном случае, мы видим, что решение не может быть принято, так как в прямоугольнике стороны не могут быть отрицательными.

5. Использование другой теоремы: Однако, мы можем использовать формулу для площади прямоугольника напрямую: [ S = AD \cdot AB ] Площадь ABCD можно найти, зная сторону AD и сторону BC, которые мы можем определить из угла: [ BC = AD \cdot \tan(60°) = 10 \cdot \sqrt{3} \approx 17.32 \, \text{см} ]

6. Нахождение площади: Теперь мы можем найти площадь: [ S = AD \cdot AB = 10 \cdot 17.32 \approx 173.2 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD составляет примерно 173.2 см².