Прямоугольный треугольник вращается вокруг меньшего катета(катеты равны 3 и 4), найти объем и площадь...

Объем тела вращения - (V = \frac{1}{3}\pi ab^2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 4^2 = 16\pi) кубических единиц. Площадь полной поверхности тела вращения - (S = 2\pi ab + \pi b^2 = 2\pi \cdot 3 \cdot 4 + \pi \cdot 4^2 = 24\pi + 16\pi = 40\pi) квадратных единиц.

Для нахождения объема и площади полной поверхности тела вращения прямоугольного треугольника вокруг меньшего катета (катеты равны 3 и 4) мы можем воспользоваться формулами для объема и площади поверхности вращения.

1. Объем тела вращения можно найти по формуле: V = π r^2 h, где r - радиус окружности, по которой вращается треугольник (в данном случае равен 3), h - высота треугольника (в данном случае равна 4).

V = π 3^2 4 = 36π.

Ответ: объем тела вращения равен 36π.

1. Площадь полной поверхности тела вращения можно найти по формуле: S = 2πrh + πr^2, где r и h имеют те же значения, что и в предыдущей формуле.

S = 2π 3 4 + π * 3^2 = 24π + 9π = 33π.

Ответ: площадь полной поверхности тела вращения равна 33π.

Чтобы найти объем и площадь полной поверхности тела вращения, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг его меньшего катета, мы можем следовать следующим шагам:

1. Определение параметров

Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Пусть (a = 3) будет катет, вокруг которого происходит вращение, и (b = 4) будет второй катет. Гипотенузу (c) можно найти по теореме Пифагора:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. ]

2. Объем тела вращения

При вращении треугольника вокруг катета длиной 3 образуется конус с высотой 3 и радиусом основания 4. Объем (V) конуса рассчитывается по формуле:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, ]

где (r = 4) — радиус основания, (h = 3) — высота конуса. Подставляем значения:

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 3 = \frac{1}{3} \pi \times 16 \times 3 = \frac{1}{3} \times 48 \pi = 16 \pi. ]

3. Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса (S) состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

[ S = S{\text{бок}} + S{\text{осн}}. ]

• Площадь основания (S_{\text{осн}}) равна площади круга с радиусом 4:

[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi. ]

• Площадь боковой поверхности (S_{\text{бок}}) равна:

[ S_{\text{бок}} = \pi r l, ]

где (l) — длина образующей, равная гипотенузе треугольника, то есть (l = 5). Подставляем значения:

[ S_{\text{бок}} = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi. ]

Теперь суммируем обе площади:

[ S = S{\text{бок}} + S{\text{осн}} = 20\pi + 16\pi = 36\pi. ]

Итог

Объем тела вращения равен (16\pi), а площадь полной поверхности равна (36\pi).