Прямые KL, MN и PQ пересекаются в точке А, угл KAM=90, угл КАР: MAQ=4 : 5. Один из образованныхуглов...

Для того, чтобы найти наименьший из углов $\angle PAN, \angle LAN$ и $\angle LAQ$, нам необходимо сначала определить углы $\angle KAR, \angle MAQ$ и $\angle KAM$.

Из условия известно, что $\angle KAM = 90^\circ$. Также известно, что углы $\angle KAR, \angle MAQ$ и $\angle KAM$ образуют треугольник $AMR$, где $R$ - точка пересечения прямых $KL$ и $MN$.

Поскольку углы $\angle KAR$ и $\angle MAQ$ относятся как $4:5$, то можно записать: $\angle KAR = 4x, \angle MAQ = 5x$, где $x$ - неизвестный коэффициент.

Также из условия известно, что один из образованных углов равен $80^\circ$, а два других относятся как $2:3$. Пусть эти углы обозначены как $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Тогда можно записать: $\alpha = 80^\circ, \beta = 2y, \gamma = 3y$, где $y$ - неизвестный коэффициент.

Теперь, чтобы найти наименьший из углов $\angle PAN, \angle LAN$ и $\angle LAQ$, нам нужно определить эти углы в треугольнике $ALQ$.

Из свойств треугольника мы знаем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать уравнение: $\angle PAN + \angle LAN + \angle LAQ = 180^\circ$

Также мы можем записать уравнения для углов $\angle LAN$ и $\angle LAQ$: $\angle LAN = \angle KAM + \angle MAQ = 90^\circ + 5x$ $\angle LAQ = \angle MAQ + \angle MAQ = 5x + 3y$

Подставив эти уравнения в уравнение на сумму углов треугольника, мы получим: $(90^\circ + 5x) + (5x + 3y) + \angle PAN = 180^\circ$

Далее необходимо решить систему уравнений, чтобы найти значения $x$ и $y$, затем найти углы $\angle PAN, \angle LAN$ и $\angle LAQ$ и определить наименьший из них.

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом:

1. Известные углы:

   • Угол ( \angle KAM = 90^\circ ).
   • Отношение углов ( \angle KAP : \angle MAQ = 4 : 5 ).

2. Общая сумма углов вокруг точки A: Вокруг точки пересечения прямых сумма углов равна ( 360^\circ ).

3. Переменные для углов: Пусть ( \angle KAP = 4x ) и ( \angle MAQ = 5x ).

4. Сумма углов ( \angle KAP ) и ( \angle MAQ ): [ \angle KAP + \angle MAQ = 4x + 5x = 9x. ]

5. Нахождение ( x ): Учитывая, что ( \angle KAM = 90^\circ ), оставшиеся углы вокруг точки A равны ( 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ ). Следовательно: [ 9x = 270^\circ \implies x = 30^\circ. ]

6. Выражение углов:

   • ( \angle KAP = 4x = 120^\circ ).
   • ( \angle MAQ = 5x = 150^\circ ).

7. Определение углов PAN, LAN, LAQ: Из условия задачи известно, что один из углов равен ( 80^\circ ), а два других относятся как ( 2 : 3 ). Пусть эти углы будут ( 2y ) и ( 3y ).

8. Сумма углов: [ 2y + 3y + 80^\circ = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ. ] [ 5y + 80^\circ = 270^\circ. ] [ 5y = 190^\circ \implies y = 38^\circ. ]

9. Значения углов:

   • Один из углов, равный 80°, мы уже знаем.
   • Второй угол ( 2y = 2 \times 38^\circ = 76^\circ ).
   • Третий угол ( 3y = 3 \times 38^\circ = 114^\circ ).

10. Наименьший из углов PAN, LAN, LAQ: Учитывая, что угол ( \angle PAN = 80^\circ ), угол ( \angle LAN = 76^\circ ), и угол ( \angle LAQ = 114^\circ ), то наименьший из них — это ( \angle LAN = 76^\circ ).

Ответ: Наименьший из углов — ( \angle LAN = 76^\circ ).

Наименьший угол из трех указанных равен 40 градусов.