правильная треугольная пирамида все ребра которой равны 12 см пересечена плоскостью,параллельной основанию её пирамиды ипроходящей через середину высоты.Найти высоту и апофему полученной усеченной пирамиды
правильная треугольная пирамида все ребра которой равны 12 см пересечена плоскостью,параллельной основанию её пирамиды ипроходящей через середину высоты.Найти высоту и апофему полученной усеченной пирамиды
Чтобы найти высоту и апофему усеченной правильной треугольной пирамиды, начнем с анализа исходной пирамиды, у которой все ребра равны 12 см.
Вычисление высоты исходной пирамиды (H): Поскольку исходная пирамида правильная, основание является равносторонним треугольником. Пусть сторона основания обозначается как A, и A = 12 см. Высота (h) такого треугольника находится по формуле: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} A = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3} \, \text{см} ] Высота H исходной пирамиды будет лежать в плоскости, перпендикулярной основанию и проходящей через центр основания. Поскольку все ребра пирамиды равны (включая боковые), центральный угол при вершине пирамиды и центре основания образует равнобедренный треугольник с боковыми ребрами 12 см и основанием, равным 6√3 см. По теореме Пифагора: [ H = \sqrt{12^2 - \left(\frac{6\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{144 - 27} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \, \text{см} ]
Высота усеченной пирамиды (H_1): Плоскость пересекает пирамиду параллельно основанию на половине высоты исходной пирамиды, так что: [ H_1 = \frac{H}{2} = \frac{3\sqrt{13}}{2} \, \text{см} ]
Апофема усеченной пирамиды (l): Апофема — это высота боковой грани усеченной пирамиды. Она также будет меньше апофемы исходной пирамиды в два раза (так как плоскость пересекает пирамиду на половине высоты). Изначальная апофема l исходной пирамиды равна половине ребра, то есть: [ l = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см} ] Таким образом, апофема усеченной пирамиды: [ l_1 = \frac{l}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{см} ]
Итак, высота усеченной пирамиды составляет ( \frac{3\sqrt{13}}{2} ) см, а апофема — 3 см.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами подобных фигур.
Итак, пусть высота и апофема исходной пирамиды равны h и a соответственно. Так как плоскость, параллельная основанию и проходящая через середину высоты, пересекает пирамиду на высоте h/2, то получаем, что новая пирамида будет подобна исходной с коэффициентом подобия k = h/(h/2) = 2.
Таким образом, высота новой усеченной пирамиды будет равна h/2, а апофема будет равна a/2, так как a/h = a/2h = 1/2.
Итак, высота усеченной пирамиды равна 6 см, а апофема равна 6 см.
