при каких значения "а" векторы АВ и CD коллинеарны A (-2; -1; 2) B (4; -3; 6) C (-1; a-1; 1) D (-4; -1; a)
при каких значения "а" векторы АВ и CD коллинеарны A (-2; -1; 2) B (4; -3; 6) C (-1; a-1; 1) D (-4; -1; a)
Чтобы определить, при каких значениях параметра ( a ) векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{CD} ) будут коллинеарны, нужно воспользоваться определением коллинеарности векторов. Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным множителем другого.
Найдем векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{CD} ):
[ \mathbf{AB} = B - A = (4 - (-2), -3 - (-1), 6 - 2) = (6, -2, 4) ]
[ \mathbf{CD} = D - C = (-4 - (-1), -1 - (a-1), a - 1) ]
[ \mathbf{CD} = (-4 + 1, -1 - a + 1, a - 1) = (-3, -a, a - 1) ]
Определим условие коллинеарности:
Векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{CD} ) коллинеарны, если существует такое число ( k ), что:
[ \mathbf{CD} = k \mathbf{AB} ]
То есть:
[ (-3, -a, a - 1) = k (6, -2, 4) ]
Это означает, что компоненты векторов должны удовлетворять следующим уравнениям:
[ -3 = 6k \quad \text{(1)} ] [ -a = -2k \quad \text{(2)} ] [ a - 1 = 4k \quad \text{(3)} ]
Решим систему уравнений:
Из уравнения (1) найдем ( k ):
[ k = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} ]
Подставим это значение ( k ) в уравнение (2):
[ -a = -2 \left(-\frac{1}{2}\right) ]
[ -a = 1 ]
[ a = -1 ]
Проверим найденное значение ( a ) в уравнении (3):
[ a - 1 = 4 \left(-\frac{1}{2}\right) ]
[ -1 - 1 = -2 ]
[ -2 = -2 ]
Видно, что значение ( a = -1 ) удовлетворяет всем трём уравнениям.
Таким образом, векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{CD} ) будут коллинеарны при ( a = -1 ).
Для того чтобы векторы AB и CD были коллинеарными, необходимо, чтобы они были параллельными и направленными в одну сторону. Для этого можно воспользоваться условием коллинеарности векторов: если векторы коллинеарны, то они пропорциональны.
Вектор AB = B - A = (4 + 2; -3 + 1; 6 - 2) = (6; -2; 4) Вектор CD = D - C = (-4 + 1; -1 - (a-1); a - 1) = (-3; -a; a - 1)
Теперь составим пропорцию для коллинеарности векторов AB и CD: 6 / (-3) = -2 / (-a) = 4 / (a - 1)
Отсюда получаем два уравнения: 1) 6 / (-3) = -2 / (-a) => a = 4 2) 6 / (-3) = 4 / (a - 1) => 2(a - 1) = -3 => 2a - 2 = -3 => 2a = -1 => a = -1/2
Таким образом, при значениях "a" равных 4 и -1/2 векторы AB и CD будут коллинеарными.
