При каком значении m векторы a$4;m-1;m$ и b$-2;4;3-m$ перпендикулярны

Чтобы определить, при каком значении $m$ векторы $\mathbf{a}=(4,m-1,m$) и $\mathbf{b}=(-2,4,3-m$) перпендикулярны, нам нужно воспользоваться свойством скалярного произведения. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ вычисляется по формуле:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

Подставим координаты векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=4\cdot (-2)+(m-1)\cdot 4+m\cdot (3-m)$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$4\cdot (-2)+4(m-1)+m(3-m)=-8+4m-4+3m-m^2$

Объединим подобные члены:

$-8-4+4m+3m-m^2=-12+7m-m^2$

Для того чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$-12+7m-m^2=0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $m$. Приведём его к стандартному виду:

$-m^2+7m-12=0$

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $m^2$ был положительным:

$m^2-7m+12=0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

$m=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

где $a=1$, $b=-7$, $c=12$. Подставим эти значения в формулу:

$m=\frac{-(-7)\pm \sqrt{(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1}=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2}$

Упростим выражение:

$m=\frac{7\pm 1}{2}$

Получаем два возможных значения для $m$:

$m_1=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4$

$m_2=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3$

Таким образом, векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ будут перпендикулярны при $m=4$ или $m=3$.

Два вектора перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю.

Сначала найдем скалярное произведение векторов a и b: a b = 4$-2$ + $m-1$4 + m$3-m$ = -8 + 4m - 4 + 3m - m^2 = 7m - m^2 - 12

Для того чтобы векторы a и b были перпендикулярны, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю: 7m - m^2 - 12 = 0

Это уравнение является квадратным, его можно решить с помощью дискриминанта: D = $-7$^2 - 4$-1$$-12$ = 49 - 48 = 1

Так как дискриминант равен 1, уравнение имеет два корня: m1 = $7+sqrt(1$) / 2 = $7+1$ / 2 = 4 m2 = $7-sqrt(1$) / 2 = $7-1$ / 2 = 3

Таким образом, при m = 4 или m = 3 векторы a$4;m-1;m$ и b$-2;4;3-m$ будут перпендикулярными.