При каком значении m векторы a(4;m-1;m) и b(-2;4;3-m) перпендикулярны

Чтобы определить, при каком значении ( m ) векторы (\mathbf{a} = (4, m-1, m)) и (\mathbf{b} = (-2, 4, 3-m)) перпендикулярны, нам нужно воспользоваться свойством скалярного произведения. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) вычисляется по формуле:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 ]

Подставим координаты векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}):

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot (-2) + (m-1) \cdot 4 + m \cdot (3 - m) ]

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

[ 4 \cdot (-2) + 4(m-1) + m(3 - m) = -8 + 4m - 4 + 3m - m^2 ]

Объединим подобные члены:

[ -8 - 4 + 4m + 3m - m^2 = -12 + 7m - m^2 ]

Для того чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

[ -12 + 7m - m^2 = 0 ]

Мы получили квадратное уравнение относительно ( m ). Приведём его к стандартному виду:

[ -m^2 + 7m - 12 = 0 ]

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при ( m^2 ) был положительным:

[ m^2 - 7m + 12 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = -7 ), ( c = 12 ). Подставим эти значения в формулу:

[ m = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} ]

Упростим выражение:

[ m = \frac{7 \pm 1}{2} ]

Получаем два возможных значения для ( m ):

[ m_1 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]

[ m_2 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]

Таким образом, векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) будут перпендикулярны при ( m = 4 ) или ( m = 3 ).

Два вектора перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю.

Сначала найдем скалярное произведение векторов a и b: a b = 4(-2) + (m-1)4 + m(3-m) = -8 + 4m - 4 + 3m - m^2 = 7m - m^2 - 12

Для того чтобы векторы a и b были перпендикулярны, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю: 7m - m^2 - 12 = 0

Это уравнение является квадратным, его можно решить с помощью дискриминанта: D = (-7)^2 - 4(-1)(-12) = 49 - 48 = 1

Так как дискриминант равен 1, уравнение имеет два корня: m1 = (7 + sqrt(1)) / 2 = (7 + 1) / 2 = 4 m2 = (7 - sqrt(1)) / 2 = (7 - 1) / 2 = 3

Таким образом, при m = 4 или m = 3 векторы a(4;m-1;m) и b(-2;4;3-m) будут перпендикулярными.