Продолжение боковых сторон AB и CD трапеции АВСД пересекаются в точке М. Большее основание АД=20 см, МД = 10 см, СД =8 см. Найдите меньшее основание трапеции. Можно пожалуйста с чертежом.
Продолжение боковых сторон AB и CD трапеции АВСД пересекаются в точке М. Большее основание АД=20 см, МД = 10 см, СД =8 см. Найдите меньшее основание трапеции. Можно пожалуйста с чертежом.
Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать свойство подобия треугольников, которые образуются при пересечении продолжений боковых сторон трапеции.
Чертёж: Сначала нарисуем трапецию (ABCD), где (AD) — большее основание, (BC) — меньшее основание, а стороны (AB) и (CD) продолжены так, что они пересекаются в точке (M). Отметим известные величины: (AD = 20) см, (MD = 10) см, (CD = 8) см.
Анализ: Так как (M) — точка пересечения продолжений (AB) и (CD), треугольники (AMD) и (CMD) подобны по двум углам (угол (AMD) общий, и углы при вершине (M) равны как вертикальные).
Пропорции подобия: Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон этих треугольников равно. То есть, (\frac{AM}{CM} = \frac{AD}{CD}).
Поиск (BC): Так как (AD = 20) см и (CD = 8) см, получаем (\frac{AM}{CM} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}). Это значит, что (AM) в 2,5 раза больше, чем (CM). Так как (MD = 10) см является частью (AM), давайте найдём длину (AM) и (CM), учитывая, что (AM = MD + DM) и (AM = 2.5 \times CM).
Решение уравнения: Пусть (CM = x), тогда (AM = 2.5x) и (MD = 10) см, тогда (2.5x - x = 10) см, откуда (1.5x = 10) см и (x = \frac{10}{1.5} ≈ 6.67) см. Таким образом, (AM = 2.5 \times 6.67 ≈ 16.67) см.
Нахождение (BC): Теперь, зная длины (AM) и (CM), можно найти (BC), так как (BC) и (AD) — основания трапеции, а (AB) и (CD) — боковые стороны. Стороны (AB) и (CD) разделены точкой (M) в отношении (2.5 : 1) (считая от (C) к (A)). Следовательно, (BC = AD - AM + CM = 20 - 16.67 + 6.67 ≈ 10) см.
Итак, меньшее основание (BC) трапеции (ABCD) равно 10 см.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством подобных треугольников.
Пусть точка пересечения боковых сторон трапеции обозначена как М. Тогда треугольники AMD и CMD подобны треугольнику MCD (по признаку общего угла и двух пар соответственно равных углов).
Теперь мы можем записать пропорцию для соответствующих сторон этих треугольников: AM/CM = MD/CD AM/(20-AM) = 10/8 8AM = 160 - 10AM 18AM = 160 AM = 160/18 AM = 8.89 см
Ответ: Меньшее основание трапеции равно 8.89 см.
Чертеж: (Вставить чертеж трапеции с отмеченными точками и сторонами)
