Проверьте,лежали на единичной окружности точки: a) A(1/4;корень15 дробь 4) b) B(7;3) c) C 1/2;1/2 Угол между лучом ОМ,пересекающим единичную полуокружность,и положительной полуосью Ox равен a.Найдите координаты точки М,если: а)ОМ=4;a=60градусов б) ОМ=8;a=150градусов
Чтобы проверить, лежат ли заданные точки на единичной окружности, нужно использовать уравнение единичной окружности в декартовой системе координат:
[ x^2 + y^2 = 1. ]
Проверка точек:
a) Точка ( A \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4}\right) ):
[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{15}{16} = 1 ]
Точка ( A ) лежит на единичной окружности.
b) Точка ( B (7, 3) ):
[ 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58 ]
Точка ( B ) не лежит на единичной окружности.
c) Точка ( C \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) ):
[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ]
Точка ( C ) не лежит на единичной окружности.
Координаты точки ( M ):
a) Длина ( OM = 4 ) и угол ( a = 60^\circ ):
Координаты точки ( M ) можно найти, используя полярные координаты и перевод их в декартовые. Формулы преобразования:
[ x = r \cdot \cos(\theta), \quad y = r \cdot \sin(\theta) ]
где ( r = 4 ) и ( \theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3} ).
[ x = 4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 ]
[ y = 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} ]
Таким образом, координаты точки ( M ) равны ( (2, 2\sqrt{3}) ).
б) Длина ( OM = 8 ) и угол ( a = 150^\circ ):
Переведем угол в радианы: ( 150^\circ = \frac{5\pi}{6} ).
[ x = 8 \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4\sqrt{3} ]
[ y = 8 \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 ]
Таким образом, координаты точки ( M ) равны ( (-4\sqrt{3}, 4) ).
a) Точка A не лежит на единичной окружности, так как ( \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{4})^2} \neq 1 ). b) Точка B не лежит на единичной окружности, так как ( \sqrt{7^2 + 3^2} \neq 1 ). c) Точка C лежит на единичной окружности, так как ( \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = 1 ).
a) Для нахождения координат точки М при ОМ=4 и угле 60 градусов можно воспользоваться тригонометрическими функциями. Получим ( M(\frac{1}{2}\sqrt{3}, \frac{3}{2}) ). б) Для нахождения координат точки М при ОМ=8 и угле 150 градусов можно также воспользоваться тригонометрическими функциями. Получим ( M(-\frac{7\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}) ).
Для начала, найдем координаты точек A, B и C на единичной окружности.
a) A(1/4; √15/4) - точка A лежит на единичной окружности, так как радиус единичной окружности равен 1.
b) B(7;3) - точка B не лежит на единичной окружности, так как расстояние от точки B до начала координат больше радиуса единичной окружности.
c) C(1/2;1/2) - точка C лежит на единичной окружности.
Теперь найдем координаты точки M.
a) Когда ОМ=4 и угол между лучом ОМ и положительной полуосью Ox равен 60 градусов, координаты точки M можно найти, используя формулы для преобразования полярных координат в декартовы: x = r cos(θ) y = r sin(θ)
Подставляя данные: x = 4 cos(60°) = 4 0.5 = 2 y = 4 sin(60°) = 4 √3/2 = 2√3
Таким образом, координаты точки M при ОМ=4 и угле 60 градусов равны (2; 2√3).
б) Когда ОМ=8 и угол между лучом ОМ и положительной полуосью Ox равен 150 градусов, координаты точки M можно найти аналогично: x = 8 cos(150°) = 8 (-√3/2) = -4√3 y = 8 sin(150°) = 8 (-0.5) = -4
Таким образом, координаты точки M при ОМ=8 и угле 150 градусов равны (-4√3; -4).
