Пусть AD=a, AB=b, E принадлежит BD, BE:ED=2:3. Найдите разложение вектора ED по векторам a и b

Разложение вектора ED по векторам a и b можно найти, используя пропорции. Поскольку BE:ED=2:3, то ED=3/2BE. Теперь разложим вектор BE по векторам a и b: BE=2/5a+3/5b. Подставляем это выражение в ED: ED=3/2(2/5a+3/5b)=3/5a+9/10b. Получаем разложение вектора ED по векторам a и b: ED=3/5a+9/10b.

Рассмотрим треугольник ABD, где точки A, B и D заданы векторами. Пусть AD = (\mathbf{a}) и AB = (\mathbf{b}). Также известно, что точка E делит отрезок BD в отношении 2:3.

Для начала обозначим вектор BD через (\mathbf{d}): [ \mathbf{d} = \mathbf{BD} ]

Так как B, D и E коллинеарны, мы можем выразить (\mathbf{d}) через (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}): [ \mathbf{BD} = \mathbf{BA} + \mathbf{AD} ] [ \mathbf{BD} = -\mathbf{b} + \mathbf{a} ]

Теперь найдём координаты точки E, которая делит отрезок BD в отношении 2:3. Вектор (\mathbf{BE}) можно записать как: [ \mathbf{BE} = \frac{3}{2+3} \mathbf{BD} = \frac{3}{5} \mathbf{BD} ] [ \mathbf{BE} = \frac{3}{5} (-\mathbf{b} + \mathbf{a}) ]

Следовательно, вектор (\mathbf{ED}) можно выразить как разность векторов (\mathbf{BD}) и (\mathbf{BE}): [ \mathbf{ED} = \mathbf{BD} - \mathbf{BE} ] [ \mathbf{ED} = (-\mathbf{b} + \mathbf{a}) - \frac{3}{5}(-\mathbf{b} + \mathbf{a}) ]

Приведём выражение к общему знаменателю: [ \mathbf{ED} = \left(1 - \frac{3}{5}\right)(-\mathbf{b} + \mathbf{a}) ] [ \mathbf{ED} = \frac{2}{5}(-\mathbf{b} + \mathbf{a}) ]

Таким образом, разложение вектора (\mathbf{ED}) по векторам (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) будет следующим: [ \mathbf{ED} = \frac{2}{5}\mathbf{a} - \frac{2}{5}\mathbf{b} ]

В итоге, вектор (\mathbf{ED}) можно записать как линейную комбинацию векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}): [ \mathbf{ED} = \frac{2}{5}\mathbf{a} - \frac{2}{5}\mathbf{b} ]

Для нахождения разложения вектора ED по векторам a и b нужно сначала выразить вектор ED через векторы a и b.

Пусть вектор ED = xa + yb, где x и y - коэффициенты, которые мы хотим найти. Так как вектор ED представляет собой сумму векторов BE и BD, то ED = BE + BD.

Так как BE:ED=2:3, то вектор BE = (2/5)*ED. Также, BD = BA + AD = b + a.

Подставим все это в выражение для вектора ED: ED = (2/5)*ED + b + a.

Теперь выразим ED через a и b: ED = (5/3)b + (5/3)a.

Таким образом, разложение вектора ED по векторам a и b будет: ED = (5/3)b + (5/3)a.