Радиус окружности, описанной около квадрата равен 4 корней из 2. Найдите радиус окружности, вписанной...

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в квадрат, сначала нужно понять взаимосвязь между радиусом описанной окружности и сторонами квадрата.

1. Определение сторон квадрата: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Известно, что длина диагонали квадрата (d) равна (a\sqrt{2}), где (a) — длина стороны квадрата.

2. Выразим диагональ через радиус описанной окружности: У нас дано, что радиус описанной окружности (R = 4\sqrt{2}). Так как этот радиус равен половине диагонали квадрата: [ R = \frac{d}{2} ] Подставим значение радиуса: [ 4\sqrt{2} = \frac{d}{2} ]

3. Вычислим диагональ: Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти (d): [ d = 8\sqrt{2} ]

4. Найдем сторону квадрата: Диагональ квадрата выражается через сторону (a) как (a\sqrt{2}). Подставим найденное значение диагонали: [ a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} ] Разделим обе части уравнения на (\sqrt{2}): [ a = 8 ]

5. Радиус вписанной окружности: Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата. Таким образом, радиус вписанной окружности (r) равен: [ r = \frac{a}{2} ] Подставим значение (a): [ r = \frac{8}{2} = 4 ]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в этот квадрат, равен 4.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине радиуса описанной окружности. Следовательно, радиус вписанной окружности равен 2 корня из 2.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Следовательно, диагональ квадрата равна 8 корням из 2.

Так как вписанная окружность касается сторон квадрата, то её радиус равен половине стороны квадрата. Поскольку диагональ квадрата делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, то каждая сторона квадрата равна диагонали, деленной на корень из 2. Следовательно, радиус вписанной окружности равен 4.