Радиус окружности вписанной в правильный многоугольник равен 5 см, сторона 10 см. найти количество сторон...

Для нахождения количества сторон правильного многоугольника можно воспользоваться формулой:

n = 360 / α

где n - количество сторон многоугольника, α - внутренний угол многоугольника.

Для правильного многоугольника внутренний угол можно найти по формуле:

α = 180 - (360 / n)

Так как радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника равна 10 см, то можно составить уравнение:

r = (s / 2) * tan(π / n)

где r - радиус окружности, s - длина стороны многоугольника, n - количество сторон многоугольника.

Подставляем известные значения:

5 = (10 / 2) tan(π / n) 5 = 5 tan(π / n) tan(π / n) = 1 π / n = arctan(1) π / n = π/4 n = 4

Таким образом, правильный многоугольник с радиусом вписанной окружности 5 см и стороной 10 см имеет 4 стороны (четырехугольник).

Длину описанной окружности можно найти по формуле:

C = 2 π R

где C - длина окружности, R - радиус описанной окружности.

Подставляем известное значение радиуса:

C = 2 π 10 C = 20π

Таким образом, длина описанной окружности равна 20π см.

Для решения данной задачи воспользуемся связью между радиусом вписанной окружности (r), радиусом описанной окружности (R), стороной многоугольника (a) и количеством сторон многоугольника (n).

1. Используем формулу для вычисления радиуса вписанной окружности правильного многоугольника: [ r = \frac{a}{2} \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) ] Здесь ( a = 10 ) см и ( r = 5 ) см. Мы можем выразить ( \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) ): [ \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{r}{a/2} = \frac{5}{5} = 1 ] Таким образом, ( \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) = 1 ). Вспомним, что котангенс достигает значения 1 при аргументе ( \frac{\pi}{4} ). Следовательно, ( \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4} ), откуда ( n = 4 ).

2. Теперь, когда мы знаем, что n = 4, можно понять, что данный многоугольник - квадрат. Посчитаем радиус описанной окружности для квадрата, зная его сторону: [ R = \frac{a}{2 \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{10}{2 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ см} ]

Итак, количество сторон многоугольника n = 4 (квадрат), и длина описанной окружности равна ( 5\sqrt{2} ) см.

Количество сторон многоугольника - 10, длина описанной окружности - 31,42 см.