Радиус основания цилиндра равен 4,образующая равна 6.Найдите:а)диагональ осевого сечения цилиндра,б)объем...

Для решения задач по геометрии цилиндра, начнем с анализа данных и применением соответствующих формул.

1. Данные задачи:

   • Радиус основания цилиндра ( r = 4 )
   • Образующая цилиндра ( l = 6 )

2. Найти:

   • Диагональ осевого сечения цилиндра
   • Объем цилиндра

Часть (а): Диагональ осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра ( h ), а ширина равна диаметру основания цилиндра ( 2r ). Чтобы найти диагональ осевого сечения, нужно знать высоту цилиндра, которую можно найти, используя образующую цилиндра.

Образующая ( l ) цилиндра является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором одна из сторон — это радиус основания ( r ), а другая — высота цилиндра ( h ). Используем теорему Пифагора для нахождения высоты ( h ):

[ l^2 = r^2 + h^2 ]

Подставим известные значения:

[ 6^2 = 4^2 + h^2 ]

[ 36 = 16 + h^2 ]

[ h^2 = 36 - 16 ]

[ h^2 = 20 ]

[ h = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

Теперь, когда мы знаем высоту цилиндра ( h ), можно найти диагональ осевого сечения. Диагональ прямоугольника с шириной ( 2r ) и высотой ( h ) также находится по теореме Пифагора:

[ d^2 = (2r)^2 + h^2 ]

Подставим известные значения:

[ d^2 = (2 \cdot 4)^2 + (2\sqrt{5})^2 ]

[ d^2 = 8^2 + (2\sqrt{5})^2 ]

[ d^2 = 64 + 20 ]

[ d^2 = 84 ]

[ d = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} ]

Итак, диагональ осевого сечения цилиндра равна ( 2\sqrt{21} ).

Часть (б): Объем цилиндра

Объем цилиндра ( V ) рассчитывается по формуле:

[ V = \pi r^2 h ]

Подставим известные значения (радиус ( r = 4 ) и высота ( h = 2\sqrt{5} )):

[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 2\sqrt{5} ]

[ V = \pi \cdot 16 \cdot 2\sqrt{5} ]

[ V = 32\pi\sqrt{5} ]

Итак, объем цилиндра равен ( 32\pi\sqrt{5} ).

Вывод:

а) Диагональ осевого сечения цилиндра равна ( 2\sqrt{21} ).

б) Объем цилиндра равен ( 32\pi\sqrt{5} ).

Для решения задачи нам нужно знать, что диагональ осевого сечения цилиндра равна гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания и образующей цилиндра. Обозначим эту диагональ как d.

Используя теорему Пифагора, найдем диагональ d: d = √(r^2 + h^2) d = √(4^2 + 6^2) d = √(16 + 36) d = √52 d ≈ 7.21

Теперь найдем объем цилиндра. Объем цилиндра можно вычислить по формуле: V = πr^2h

Подставим известные значения: V = π 4^2 6 V = π 16 6 V = 96π

Таким образом, диагональ осевого сечения цилиндра равна примерно 7.21, а объем цилиндра равен 96π.