Радиус основания конуса равен R.Концы хорды основания,стягивающей дугу в 120 градусов,являются концами...

Для решения задачи нам нужно использовать свойства конуса и геометрические соотношения.

1. Определение известной информации:

   • Радиус основания конуса ( R ).
   • Хорда основания конуса стягивает дугу в 120 градусов.
   • Концы этой хорды являются концами двух взаимно перпендикулярных образующих конуса.

2. Вычисление длины хорды: Для окружности длина хорды ( AB ), стягивающей дугу ( \theta ) в радианах, может быть найдена по формуле: [ AB = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) ] Здесь (\theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}) радиан. Таким образом, [ AB = 2R \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} ]

3. Анализ геометрии конуса: Раз у нас есть две взаимно перпендикулярные образующие, проходящие через концы хорды ( AB ), то одна образующая проходит через один конец хорды, а другая — через другой конец хорды и вершину конуса.

4. Определение высоты конуса: Поскольку образующие взаимно перпендикулярны, они образуют прямоугольный треугольник с высотой конуса и радиусом основания. Обозначим длину образующей через ( l ). Тогда по теореме Пифагора: [ l^2 = R^2 + h^2 ] где ( h ) — высота конуса.

5. Вычисление длины образующей: Используя свойства прямоугольного треугольника, где гипотенуза ( l ) и катеты ( R ) и ( h ), мы можем выразить высоту ( h ) через треугольник, образованный центром основания, концом хорды и её серединой: [ \text{Половина хорды } = \frac{R\sqrt{3}}{2} ] Поэтому, рассматривая прямоугольный треугольник с этой половиной хорды, высотой ( h ) и половиной диаметра основания ( R ), получаем: [ h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{R^2 - \frac{3R^2}{4}} = \sqrt{\frac{R^2}{4}} = \frac{R}{2} ]

6. Площадь полной поверхности конуса: Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности: [ S{\text{основ}} = \pi R^2 ] [ S{\text{бок}} = \pi R l ] [ l = \sqrt{R^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{R^2 + \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2} ] Таким образом, полная площадь поверхности: [ S{\text{полный}} = \pi R^2 + \pi R \cdot \frac{R\sqrt{5}}{2} = \pi R^2 + \frac{\pi R^2 \sqrt{5}}{2} ] [ S{\text{полный}} = \pi R^2 \left(1 + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) ]

Итак, полная площадь поверхности конуса равна (\pi R^2 \left(1 + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)).

Площадь полной поверхности конуса равна S = πR(R + √3R).

Для решения данной задачи нам необходимо найти длину образующей конуса. По условию задачи, у нас имеется хорда основания, стягивающая дугу в 120 градусов. Так как концы этой хорды являются концами двух взаимно перпендикулярных образующих, то у нас образуется прямоугольный треугольник. Таким образом, мы можем разделить наш треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты R/2 и R. По теореме Пифагора, длина образующей равна √((R/2)^2 + R^2) = √(R^2/4 + R^2) = √(5R^2/4) = R√5/2.

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности конуса. Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания конуса равна πR^2, а площадь боковой поверхности равна πRl, где l - длина образующей.

Таким образом, общая площадь поверхности конуса равна πR^2 + πR(R√5/2) = πR^2 + πR^2√5/2 = πR^2(1 + √5/2).

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна πR^2(1 + √5/2).