Радиус основания усеченного конуса 1 и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимо перпендикулярны. Найдите площадь осевого сечения и полную площадь
Радиус основания усеченного конуса 1 и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимо перпендикулярны. Найдите площадь осевого сечения и полную площадь
Для решения данной задачи начнем с анализа геометрии усеченного конуса и его осевого сечения.
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой трапецию, где две параллельные стороны — это окружности оснований конуса, а непараллельные стороны — образующие конуса. В условии задачи сказано, что диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны.
Нахождение высоты конуса (h): Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, следовательно, осевое сечение представляет собой прямоугольную трапецию. Если обозначить радиусы оснований как R = 7 дм и r = 1 дм, то разность радиусов, равная половине разности оснований трапеции, будет |R - r| = 6 дм. Половина суммы оснований трапеции равна (R + r) / 2 = 4 дм. Теперь можно применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному половиной одной диагонали, половиной разности оснований и высотой: [ h^2 + 6^2 = (4^2 + 6^2) \Rightarrow h^2 = 4^2 + 6^2 - 6^2 = 4^2 = 16 \Rightarrow h = 4 \text{ дм} ]
Площадь осевого сечения (Sос): Осевое сечение — это прямоугольная трапеция с высотой h = 4 дм, меньшим основанием 2r = 2 дм и большим основанием 2R = 14 дм. Площадь такой трапеции находится по формуле: [ S_{ос} = \frac{(2r + 2R)}{2} \cdot h = \frac{(2 + 14)}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32 \text{ дм}^2 ]
Полная площадь конуса (Sполн): Полная площадь усеченного конуса включает площади двух оснований и боковую площадь. Площади оснований равны (\pi R^2) и (\pi r^2), а боковая площадь находится по формуле: [ S{бок} = \pi (R + r) \cdot l ] где ( l ) — длина образующей конуса, ( l^2 = h^2 + (R-r)^2 = 4^2 + 6^2 = 52 \Rightarrow l = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ). Таким образом, боковая площадь: [ S{бок} = \pi (7 + 1) \cdot 2\sqrt{13} = 16\pi \sqrt{13} \text{ дм}^2 ] Площади оснований: [ S{R} = \pi \cdot 7^2 = 49\pi \text{ дм}^2, \quad S{r} = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ дм}^2 ] Итак, полная площадь: [ S{полн} = S{R} + S{r} + S{бок} = 49\pi + \pi + 16\pi \sqrt{13} \text{ дм}^2 ]
Так мы нашли площадь осевого сечения и полную площадь усеченного конуса.
Для начала найдем высоту усеченного конуса. Обозначим радиусы оснований как r1 и r2 (r1 = 1 дм, r2 = 7 дм), а высоту как h.
По теореме Пифагора для осевого сечения усеченного конуса с диагоналями d1 и d2, имеем: r1^2 + h^2 = d1^2 r2^2 + h^2 = d2^2
Поскольку диагонали перпендикулярны, то у нас также есть следующее соотношение: d1^2 + d2^2 = (r1 + r2)^2 d1^2 + d2^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50
Теперь найдем высоту h: r1^2 + h^2 = d1^2 1 + h^2 = d1^2 h^2 = d1^2 - 1
r2^2 + h^2 = d2^2 49 + h^2 = d2^2 h^2 = d2^2 - 49
Таким образом, получаем систему уравнений: h^2 = d1^2 - 1 h^2 = d2^2 - 49
d1^2 - 1 = d2^2 - 49 d1^2 - d2^2 = 48 (d1 + d2)(d1 - d2) = 48
Так как диагонали перпендикулярны, то d1 и d2 являются сторонами прямоугольного треугольника, а их произведение должно быть равно удвоенной площади осевого сечения. Таким образом, площадь осевого сечения равна:
S = 0.5 d1 d2 = 0.5 * 48 = 24 дм^2
Полная площадь усеченного конуса складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле: Sбок = π (r1 + r2) l
где l - образующая конуса. Образующую можно найти с помощью теоремы Пифагора: l = √(h^2 + (r1 - r2)^2)
Подставив известные значения, найдем боковую поверхность и полную площадь усеченного конуса.
