Радиус шара равен 12см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 45• к нему. Найти площадь...

Для нахождения площади сечения шара, проведенного плоскостью под углом 45° к радиусу, необходимо рассмотреть сечение как круг, полученный проекцией сечения шара на плоскость.

Так как угол между радиусом и плоскостью составляет 45°, то сечение будет являться кругом с радиусом, равным радиусу шара умножить на синус угла 45°.

r = 12 см sin 45° = 1/√2

Тогда радиус сечения: r' = r sin 45° = 12 см 1/√2 = 12√2 / 2 = 6√2 см

Площадь сечения круга вычисляется по формуле: S = π r'^2 = π (6√2)^2 = 36π * 2 = 72π

Итак, площадь сечения шара равна 72π квадратных сантиметра.

Площадь сечения равна 72π см².

Для нахождения площади сечения шара плоскостью, проведенной под углом к радиусу, необходимо воспользоваться геометрическими свойствами сферы и понять, какую фигуру представляет собой сечение.

1. Понимание задачи.

   • У вас есть сфера с радиусом ( R = 12 ) см.
   • Плоскость проходит через конец радиуса (точку на поверхности сферы) и наклонена под углом ( 45^\circ ) к этому радиусу.

2. Определение фигуры сечения.

   • Сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр, всегда является окружностью.
   • Если плоскость проходит через точку на поверхности сферы и образует угол с радиусом, сечение также будет окружностью, но не обязательно проходящей через центр сферы.

3. Рассмотрение треугольника.

   • Рассмотрим треугольник, образованный радиусом, перпендикуляром от центра сферы к плоскости и линией от центра сферы к точке пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.
   • В этом треугольнике:
     • Гипотенуза равна радиусу сферы ( R = 12 ) см.
     • Угол между гипотенузой и высотой равен ( 45^\circ ).

4. Вычисление расстояния от центра сферы до плоскости.

   • Обозначим расстояние от центра сферы до плоскости как ( d ).
   • Поскольку угол между радиусом и перпендикуляром на плоскость равен ( 45^\circ ), используем косинус: [ \cos(45^\circ) = \frac{d}{R} ] [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{12} ] [ d = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ]

5. Радиус сечения.

   • Радиус сечения, обозначим его ( r ), можно найти из прямоугольного треугольника, где ( R ) — гипотенуза, ( d ) — один катет, а ( r ) — второй катет: [ r^2 + d^2 = R^2 ] [ r^2 + (6\sqrt{2})^2 = 12^2 ] [ r^2 + 72 = 144 ] [ r^2 = 72 ] [ r = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]

6. Площадь сечения.

   • Площадь сечения (окружности) можно найти по формуле: [ S = \pi r^2 = \pi (6\sqrt{2})^2 = \pi \times 72 = 72\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь сечения составляет ( 72\pi ) квадратных сантиметров.