Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания...

Чтобы найти высоту усеченного конуса, нужно воспользоваться геометрическими отношениями и свойствами усеченного конуса.

Даны:

• Радиусы оснований ( R = 12 ) см и ( r = 6 ) см.
• Угол наклона образующей к плоскости основания ( \theta = 45^\circ ).

Обозначим:

• ( h ) — высота усеченного конуса.
• ( l ) — длина образующей.

1. Построим вертикальный разрез усеченного конуса, который является трапецией.

   Верхнее и нижнее основания трапеции — это меньший и больший круги конуса соответственно. Высота трапеции будет равна высоте усеченного конуса ( h ), а боковые стороны трапеции — это образующие усеченного конуса ( l ).

2. Используем геометрические отношения.

   Так как угол наклона образующей к основанию составляет ( 45^\circ ), то можно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника, образованного высотой ( h ), разностью радиусов оснований (( R - r )) и образующей ( l ).

   В треугольнике, который образуется при вертикальном разрезе конуса, гипотенуза — это образующая ( l ), один катет — это высота ( h ), а другой катет — это разность радиусов (( R - r )).

   Используем тангенс угла ( 45^\circ ):

   [ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{R - r} ]

3. Подставим известные значения:

   [ 1 = \frac{h}{12 \text{ см} - 6 \text{ см}} ]

   [ 1 = \frac{h}{6 \text{ см}} ]

4. Решим уравнение для ( h ):

   [ h = 6 \text{ см} ]

Таким образом, высота усеченного конуса равна 6 см.

Высота усеченного конуса равна 12 см.

Для нахождения высоты усеченного конуса воспользуемся теоремой Пифагора.

Обозначим радиусы оснований как r₁ = 12 см и r₂ = 6 см. Образующая конуса образует с плоскостью основания прямой угол, поэтому можем разделить ее на две составляющие: одна параллельна оси конуса, а другая перпендикулярна ей и лежит в плоскости основания.

Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором один катет равен разности радиусов оснований (12 - 6 = 6 см), а гипотенуза равна образующей. По условию, угол между образующей и плоскостью основания равен 45°, следовательно, у нас получается прямоугольный треугольник с катетами 6 см и h, где h - искомая высота усеченного конуса.

Применяя теорему Пифагора, получаем: h² = r₁² - r₂² h² = 12² - 6² h² = 144 - 36 h² = 108 h = √108 h ≈ 10,39 см

Таким образом, высота усеченного конуса составляет около 10,39 см.