Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 20 см. Образующая 17 см. Найдите объем усеченного конуса

Для нахождения объема усеченного конуса необходимо воспользоваться формулой объема конуса:

V = 1/3 π h * (R^2 + r^2 + Rr),

где V - объем конуса, h - высота усеченного конуса, R и r - радиусы оснований усеченного конуса.

В данном случае, радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 20 см, а высота (образующая) равна 17 см. Подставляя данные в формулу, получаем:

V = 1/3 π 17 (20^2 + 5^2 + 20 5) V = 1/3 π 17 (400 + 25 + 100) V = 1/3 π 17 525 V = 1/3 π 8925 V ≈ 29575.65 см^3.

Таким образом, объем усеченного конуса равен примерно 29575.65 кубических сантиметров.

Чтобы найти объем усеченного конуса, можно воспользоваться формулой для объема усеченного конуса, которая выражается как:

[ V = \frac{1}{3} \pi h (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) ]

где:

• ( R_1 ) и ( R_2 ) — радиусы оснований усеченного конуса,
• ( h ) — высота усеченного конуса,
• ( \pi ) — математическая постоянная, приблизительно равная 3.14159.

В данном случае нам известны радиусы оснований ( R_1 = 5 ) см и ( R_2 = 20 ) см, а также образующая ( l = 17 ) см. Однако для использования формулы объема нам необходима высота ( h ), а не образующая. Чтобы найти высоту, используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, разностью радиусов и образующей:

[ l^2 = h^2 + (R_2 - R_1)^2 ]

Подставим известные значения:

[ 17^2 = h^2 + (20 - 5)^2 ]

[ 289 = h^2 + 15^2 ]

[ 289 = h^2 + 225 ]

Теперь находим ( h^2 ):

[ h^2 = 289 - 225 = 64 ]

Извлекаем корень:

[ h = \sqrt{64} = 8 \, \text{см} ]

Теперь, имея высоту, можем подставить все значения в формулу объема:

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times (5^2 + 20^2 + 5 \times 20) ]

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times (25 + 400 + 100) ]

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times 525 ]

[ V = \frac{1}{3} \times 8 \times 525 \times \pi ]

[ V = \frac{1}{3} \times 4200 \times \pi ]

[ V = 1400\pi ]

Таким образом, объем усеченного конуса составляет ( 1400\pi ) кубических сантиметров.